【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--3.2.1 函数基本性质-单调性（课时教学设计)

六、课时教学设计

第1课时 函数的单调性

（一）教学内容

函数的单调性的定义、证明与判断。

（二）教学目标

1.通过具体实例，经历函数单调性概念的抽象过程，能准确说出函数在某个区间上单调递增、单调递减以及增函数、减函数的定义；举例说明“任意”“都有”等关键词的含义，发展直观想象、数学抽象素养.

2.通过用函数单调性的定义证明函数的单调性，能总结归纳出证明的基本步骤和方法，发展逻辑推理、数学运算素养.

（三）教学重点及难点

1.教学重点

函数单调性的定义及其应用。

2.教学难点

用符号语言表达函数的单调性，用定义证明函数的单调性。

（四）教学过程设计

引导语 在上一个单元，我们学习了函数的定义和表示法，知道函数（x∈A）描述了客观世界中自变量与函数值之间的一种对应关系.函数是刻画现实世界中各种各样的变化关系的重要模型，因此，研究清楚函数的性质就能掌握事物变化的规律，进而准确地“预测未来”.

问题1 阅读课本第76页节引言的内容（包括图3.2-1），回答下列问题：

（1）为什么要研究函数的性质？

（2）什么是函数的性质？你认为可以研究函数的哪些性质？

（3）用什么方法发现函数的性质？

师生活动：学生阅读教材，思考回答问题.

（1）通过研究函数的性质掌握客观世界中事物的变化规律。

（2）变化中的不变性，变化中的规律性就是函数的性质.随着自变量的增大，函数值是增大还是减小；有没有最大值、最小值；函数图象的对称性等.

（3）函数图象是直观形象的，可以通过观察函数图象特征，发现函数的性质.

设计意图：从整体上初步了解函数的性质以及它的研究方法，以指导接下来的研究过程.

问题1：观察下面几个函数的图象，你能指出这些函数的定义域和值域吗？

师生活动：引导学生通过观察函数图象，让学生指出函数的定义域和值域，但在具体的端点上面，学生会有不同答案.

设计意图：学生通过观察函数图象，在定义域和值域上的一些不同看法，也可以让学生体会形的直观和表达的不严谨，为引入单调性的符号表示做好铺垫.同时让学生关注函数的定义域，为单调区间与定义域的关系做好准备.

追问：你能发现这些函数的一些变化规律，也就是函数的性质吗？

师生活动：结合初中已学知识，学生会发现函数图象的上升下降趋势、对称性、最高点最低点等特征，向学生指明分别对应函数的单调性、奇偶性、最值等性质，其中奇偶性和最值会在后面的课程中研究，本节课主要研究函数的单调性，也就是初中学习的函数值随着自变量增大而增大（或减小）的性质.

设计意图：学生发现函数图象变化的一些规律，直观的获得函数的基本性质，让学生了解单调性只是函数性质的一个方面，为学生后续研究其他性质做一些准备.

问题2：你能结合函数的图象，描述一下函数的单调性吗？

师生活动：学生描述时一般会说函数先下降后上升，可以提醒学生能不能更具体的说一下在什么范围图象下降和上升.引导学生发现函数的图象在下降，在上升.

设计意图：学生可以观察到单调区间是定义域子集这一事实，也会注意到在描述单调性时要注意到不同区间上的单调性不同.

追问1：请同学们在取一对不同的自变量，代入解析式得到函数值，你能发现自变量的大小和函数值的大小之间的联系吗？

师生活动：让每个同学都各自选取点，然后随机提问几个学生，书写时可以按照的形式书写，并让同桌之间相互交流，可以发现都有自变量小函数值小这一规律.教师展示GGB软件上面，函数的图象在 时，不同两点滑动时，观察他们坐标之间的关系。函数单调性演示.ggb

追问2：我们已经找到很多对不同的自变量了，大家可以将中的自变量全都列出来吗？

师生活动：学生发现无法穷举.

设计意图：让学生意识到点的无穷多个，体会引入符号的必要性.

追问3：那我们如何才能表示这些一对对不同的自变量呢？

师生活动：引导学生发现可以用符号来进行表示，用下标来进行区分不同，引入.

设计意图：让学生自然的联想到用符号来表示.

追问4：那我们可以将“自变量小函数值小”用符号来进行表示吗？

师生活动：引导学生发现当.

设计意图：将自变量小函数值小转换为符号语言.

追问5：在范围内有不满足上述规律的吗？怎样修改会更加的严谨呢？

师生活动：引导学生引入全称量词，.

设计意图：进一步完善符号语言，表达出所有、任意、都等含义.

问题3：函数，满足，请作出满足上述要求的函数的一个图象.

师生活动：学生依据要求作出图象，可以相互观察不同学生作出的函数图象，让同学说出函数的单调性是否相同.

设计意图：学生通过作图将符号表示图象化，通过结果的一致性，进一步体会符号表示的严谨性. 

单调递增的概念：一般地，设函数的定义域为，区间,如果，，那么就称函数在区间上单调递增.如右图：

特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

师生活动：老师给出单调递增的定义，并带领学生理解定义中区间与定义域的关系、全称量词、符号表示等含义，体会如果改变或者删除一些词语后定义发生的改变.

设计意图：在前面学生已经得到符号化表示的情况下，顺理成章的给出了单调递增的定义，然后通过带领学生学习概念措辞，体会数学概念的精炼和严谨. 

问题4：请同学们模仿单调递增的定义，给出单调递减的定义.

师生活动：老师可以提问同学作答，如果不完整可以请其他同学补充.不管学生作答是否完整，都可以多提问几个同学，让学生在一遍遍的提问中理解记忆.

设计意图：学生掌握单调递增的标志，就是可以模仿说出单调递减的定义. 

单调递减的概念：一般地，设函数的定义域为，区间,如果，，那么就称函数在区间上单调递减.如右图：

特别的，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

练习1：下列说法是否正确？请画图说明理由：

（1）如果对于区间上的任意有，则函数在区间上单调递增；

（2）对于区间上（）的某个自变量的值，当时，有，则函数在区间（）单调递减．

师生活动：学生回答问题，可以提醒学生举出反例.

设计意图：使学生在具体问题中，进一步体会定义中“任意”二字的必要性．

例1：根据定义，研究函数的单调性.

师生活动：老师板书过程，并对步骤进行解释，并指出定义研究单调性的一般步骤，取值、作差、分解、判号、下结论.

设计意图：通过老师板书，让学生学会定义研究函数单调性的一般步骤，掌握单调性应用，将理论与实践相联系.

例2：用单调性定义证明函数在上单调递减.

师生活动：学生在证明时可能会出现不进行因式分解直接判号的情况，需要向学生指出这种方法的错误原因是利用单调性证明单调性.

设计意图：学生通过模仿老师板书进一步掌握证明单调性的一般步骤．

追问：请说出函数在定义域上的单调性.

师生活动：学生可能会错误的说出函数在定义域上单调递减，可以通过取特值向学生说明错误原因，让学生体会断开的单调区间一般用逗号或者和字连接，在，上分别单调递减，或者函数的单调递减区间是，.

设计意图：防止学生在细节上出错，也进一步让学生体会定义中任意的含义．

练习2：根据定义证明函数在区间上单调递增.

师生活动：学生模仿例题进行证明，老师注意观察学生证明过程，搜集学生易错的点，比如分解不彻底等.

设计意图：让学生进一步掌握定义证明单调性的方法步骤，注意因式分解要彻底，体会何为分解彻底.

问题5：请同学们总结一下，本节课我们学习了哪些知识，掌握了哪些方法？

师生活动：老师可以提问同学作答，本节课学习了函数单调性的概念，以及用符号化来表达数学问题，掌握了用单调性定义来研究和证明函数单调性的方法.

设计意图：通过回顾本节课内容，形成知识体系，进行知识内化。

六、目标检测设计

1. 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调递增区间和单调递减区间.

2.画出函数的图象，利用定义研究单调性.

3.研究函数的单调性.

设计意图：让学生及时巩固所学，可以数形结合研究函数单调性，并能掌握定义研究函数单调性的一般步骤.