高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）一等奖教案

————————————————————————————————————

3.4 函数的应用（一） 教学设计

一、内容和及其解析

（一）教学内容

函数的应用

（二）教学内容解析（分五点解析）

1. 内容本质：本节主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题。两个例题都是根据实际情境建立函数模型，再利用函数模型解决实际问题。两个例题涉及到的都是分段函数，而且都是用一次函数建立简单的函数模型．

2.蕴含的思想方法：

在分析函数变化规律时的数形结合；

在分析函数关系时的分类讨论。

3.知识的上下位关系：在此之前学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数，对函数有了一定的认识和理解，能建立简单实际问题的解析式，具备类一定的分析与解决问题的能力．

本节的两个例题都是给定数学模型的实际应用，教科书将在后续内容中安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题.

4. 育人价值：通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力。

5.教学重点 运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题；

在此之前学生已学习正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数以及分段函数，对函数有了一定的认识和理解，能建立简单实际问题的解析式，具备类一定的分析与解决问题的能力．因此本节课的学习建立在学生已有的函数学习经验上，主要是利用函数概念及其蕴含的数学思想方法解决简单的实际问题，两个例题都是分段函数，实际上是用一次函数建立简单的函数模型．

  本节的两个例题都是给定数学模型的实际应用，教科书将在后续内容中安排更加复杂的、需要根据实际背景建立数学模型的应用问题.教学中应引导学生体会应用函数知识解决实际问题的过程和方法.

通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力。

二、教学目标及解析

（一）教学目标

2.通过经历建立函数模型解决实际问题的过程，能在具体问题情境中，将自然语言用数学表达式表示出来，发展数学模型的学科素养。

3.通过由函数解析式求值和有关函数解析式的计算，能结合函数图象或其单调性来求最值，运用数形结合思想，体会函数图像是研究函数性质的一种重要工具，发展学生数学运算的学科素养。

（二）教学目标解析

（1）能从教科书例1中分析出存在几个变量，并确定他们之间的关系，通过这些关系确定应缴纳综合所得个税与综合所得收入额间的关系．

（2）能正确理解教科书例题中函数关系的实际意义，能使用它分析简单的实际问题；

（3）能准确理解例题中文字部分和图表部分的多种信息，并综合应用于确定函数关系，从而培养学生的数学抽象和数学建模素养．

三、教学问题诊断分析

问题1：从实际情景中提取变量，寻求变量的变化范围及变量间的对应关系建立函数模型去描述现实世界中的事物的变化规律，解决相应实际问题，以及对函数定义域进行分划考虑等问题比较陌生，大多数学生缺乏这方面的经验。

突破：以问题引导的形式根据实际问题的若干条件确定有几个变量，它们之间有什么关系，从而将实际问题抽象为数学问题。

问题2：对于较繁琐题目的综合分析缺乏思路清晰的抽象能力．

突破 : 综合题目中的语言叙述和图表展示，结合信息技术的运用，准确理解问题含义，确定变量关系，从而建立函数模型，让学生充分体验数学抽象的过程．

四、教学支持条件：为了帮助学生正确分析实际问题中的变量关系，并能利用已知条件中的各种信息，教学时应注意使用问题引导的形式与信息技术的综合辅助功能相结合，使问题解决思路清晰，处理数据计算便捷，让学生能够将主要精力投入到建立数学模型的体验中，能更加深刻地感受到数学问题不同呈现形式的意义与数学建模的实用价值．

五、教学过程设计

（一）复习引入

　　问题1：我们前面学过了哪些函数？

师生活动：（1）教师提出问题，学生回答问题．学生回答并相互补充，归纳得到：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数．

教师引导学生写出每类函数的解析式．

　　一次函数：

    反比例函数：

二次函数：

幂函数 

（2）追问：什么是分段函数？ 你能举例说明吗？

教师提出问题，学生思考并回答.教师引导学生回顾分段函数定义并举例说明：形如这样的函数称为分段函数．

设计意图：本节课就是利用分段函数解决实际问题，通过回顾一次函数、二次函数、反比例函数和分段函数，为后面的实际应用奠定基础．

（二）例题教学

例1：设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1.2例8相同，全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？

师生活动：（1）追问1：本题中涉及了哪些变量？你能写出它们之间的关系吗？

学生口述题中的变量有：全年综合所得收入额x，应纳税所得额t，应缴纳个税y。

学生板演或在自己的演算本上写出下列关系：

由个人应纳税所得额计算公式，

可得t＝x－60000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－52800－4560＝0.8x－117360．

令t≤0，得x≤146700；令t＞0，得x＞146700．

所以个人应纳税所得额t＝

由3.1.2例8可知个税税额y＝③

（2）追问2：如何通过上述两个关系确定应缴纳个税税额y与综合所得收入额x之间的关系？举例说明。

学生口答：在③中，将t代换为对应的x的关系式，并将t的范围换成自变量x的范围．

例如，将t＝0.8x－117360代入分段函数的第二段，可得y＝0.03t＝0.024x－3520.8。

要使0＜t≤36000，只需0＜0.8x－117360≤36000，

可得146700＜x≤191700．

（3）全体学生动笔给出例1的完整解答，教师抽样进行点评更正。

例1的答案（略）。

（4）追问3：对比这个例题和3.1.2例8，你有什么感受？

学生口述，老师引导补充，总结出：1.利用3.1.2例8中的结论，要由综合收入所得额求出应纳税所得额，才能计算个税税额；依据本例结论中的分段函数，可直接由综合收入所得额求出需要缴纳的个税税额．2.有了函数模型，就可以利用函数获得实际问题的答案．网络上计算个税税额、房贷还款额等的小程序都是先建立函数模型，再由程序员编写成程序做成的．

设计意图：通过解决实际问题，让学生充分体验建立数学模型的过程，体会数学模型在解决实际问题中的作用，提升数学建模思想，培养学生的数学应用意识。

例2： 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，

（1）求图3.41中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象．

追问1：（1）能写出平均速率v与时间t的关系式吗？

　　　 （2）你能理解阴影部分面积的实际意义吗？

师生活动：（1）学生读图后尝试写出，教师规范引导，得出汽车的行驶规律的解析式表示如下：

（2）教师适时引导学生把阴影部分面积转化为多边形的面积，即5个长方形面积的和，并提示：每个长方形的长是什么？是多少？长方形的宽是什么？是多少？“是多少”能回答面积的计算问题，“是什么”能回答面积的意义问题．得到阴影部分的面积为：

因此阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km．

追问2：寻求汽车行驶路程与时间的函数解析式与图象．

师生活动：让学生思考回答，最后使学生认识到：通过借助第（1）问的结论，可以将求路程的问题转化为求对应多边形的面积问题加以解决．教师引导学生动态地观察图中直线左侧的阴影部分的面积．如：当时，直线左侧的阴影部分是一个长方形，长是50，宽是t；当时，直线左侧的阴影部分是两个长方形，一个长是1，宽是50，另一个长是，宽是80；当时，直线左侧的阴影部分是三个长方形，一个长是1，宽是50，一个长是1，宽是80，另一个长是，宽是90；……

如图   

得到结论

路程

追问3：上述结果是汽车里程表读数与时间的函数解析式吗？如不是该如何调整呢？

师生活动：学生思考回答，得到

这个函数的图象如图所示

设计意图：问题的信息除了以文字形式表述外，也见于速率关于时间变化的图象中．通过学生全面的审题，有助于培养学生的读图能力，提高学生获得信息的能力．另外通过动态观察获得数学表示，进一步转化为直观图象，通过这一过程感受数学化的好处，提高直观想象和数学建模素养．

（三）应用练习

练习1：（教材第95页练习1） 若用模型描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m．在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？

师生活动：教师指导学生审题后，学生思考后回答．

解析：由解得，

由解得，

因为，

所以这辆车没有超速．

练习2：某广告公司要为客户设计一幅周长为l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？

师生活动：教师指导学生审题后，学生思考作答．

解析：设矩形的一边长为x，广告牌的面积为S，

则

当时，S取得最大值，且．

所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．

设计意图：通过练习巩固本节所学知识，提高学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．

（四）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力，提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力．

（五）布置作业

完成教材： 第95 页   习题3.4  第1,2,3,4,5题

六、目标检测设计

（教材第95页练习3）．某公司生产某种产品的固定成本为150万元，而每件产品的可变成本为2 500元，每件产品的售价为3 500元．若该公司所生产的产品全部销售出去，则

（1）设总成本为（单位：万元），单位成本为（单位：万元），销售总收入为（单位：万元），总利润为（单位：万元），分别求出它们关于总产量x（单位：件）的函数解析式；

（2）根据所求函数的图象，对这个公司的经济效益做出简单分析．

解析：（1）；；；．

（2）若分析盈利问题则考虑函数．

由图可知想要盈利则，即，

所以当件时，该公司亏损；

当件时，该公司不赔不赚；

当件时，该公司盈利．

设计意图：教师引导学生通过审题——找变量间的关系——列出解析式——解决实际问题的过程，回顾本节课函数应用的基本思路，并让学生能够在各环节中抓住关键点，如本题中的单位换算问题，从而体现数学的逻辑性和严谨性．