高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念教学设计及反思，共3页。

第七章 复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
教学设计
一、 教学目标
1. 了解复数的几何意义。
2. 了解共轭复数的概念。
二、 教学重难点
1. 教学重点
复数的向量表示。
2. 教学难点
复数的几何意义。
三、 教学过程
1. 新课导入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示。复数有什么几何意义呢？根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定；反之也对。由此你能想到复数的几何表示方法吗？
2. 探索新知
因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对(a,b)是一一对应的。而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系。
如图所示，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z (a,b)表示。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系，这是复数的一种几何意义。
由图可知，显然向量OZ由点Z唯一确定；反之，点Z也可以由向量OZ唯一确定。因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即复数z=a+bi与平面向量OZ一一对应，这是复数的另一种几何意义。
我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数。
图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+b2，其中a,b∈R。
如果b=0，那么z=a+bi是一个实数a，它的模就等于|a|（a的绝对值）。
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi，那么z=a-bi。
3. 课堂练习
1．已知平行四边形OABC，O、A、C三点对应的复数分别为0、1＋2i、3－2i，则向量的模| |等于(　　)
A. B．2 C．4 D.
解析：选D　由于四边形OABC是平行四边形，故＝，因此| |＝| |＝|3－2i|＝，故选D.
2．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A　∵|z1|＝，|z2|＝，
∴<，∴－1 3．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z为(　　)
A.-＋2i B.－－2i
C.＋2i D.－2i
解析：选A　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＝－，
由|z|＝3，得(－)2＋y2＝9，即y2＝4，∴y＝±2.
∵复数z对应的点在第二象限，∴y＝2.
∴z＝－＋2i.
4．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为(　　)
A．一个圆 B．线段
C．两点 D．两个圆
解析：选A　∵|z|2－2|z|－3＝0，
∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
∴|z|＝3，表示一个圆，故选A.
5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．
解析：|z|＝＝，
∵π<α<2π，∴－1 ∴0<2＋2cos α<4.∴|z|∈(0,2)．
答案：(0,2)
6．已知z－|z|＝－1＋i，则复数z＝________.
解析：法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由题意，得x＋yi－＝－1＋i，
即(x－)＋yi＝－1＋i.
根据复数相等的充要条件，得
解得∴z＝i.
法二：由已知可得z＝(|z|－1)＋i，
等式两边取模，得|z|＝.
两边平方，得|z|2＝|z|2－2|z|＋1＋1⇒|z|＝1.
把|z|＝1代入原方程，可得z＝i.
答案：i
4. 小结作业
小结：本节课学习了复数的几何意义、复数的模以及共轭复数的概念。
作业：完成本节课课后习题。
四、 板书设计
7.1.2 复数的几何意义
复数z=a+bi与复平面内的点Z (a,b)建立了一一对应关系
复数z=a+bi与平面向量OZ建立了一一对应关系
图中向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值，记作|z|或|a+bi|。即|z|=|a+bi|=a2+b2，其中a,b∈R。

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。