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初中数学人教版八年级上册11.2.2 三角形的外角教学ppt课件
展开11.2.2 直角三角形
人教版数学八年级上册
1.了解直角三角形两个锐角的关系.(重点)2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.(难点)3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算.(难点)
求出下列各图中x的值.
解:180°-40°-60°=80°; 180°-90°-55°=80°;
x+2x+90=180; x=30
x+x+50=180; x=65
你能把下列推理补充完整吗?如图,在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=_____( ) ∵∠C=90°( ) ∴∠A+∠B=_____
180°
三角形内角和180°
已知
90°
※直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.
几何语言:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
1.如图(1),∠B=∠C=90°,AD交BC于点O,∠A与∠D有什么关系?请说明理由.2.如图(2),∠B=∠D=90°,AD交BC于点O,∠A与∠C有什么关系?请说明理由.
1.如图(1),∠B=∠C=90°,AD交BC于点O,∠A与∠D有什么关系?请说明理由.
方法一(利用平行的判定和性质):∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠A=∠D.方法二(利用直角三角形的性质):∵∠B=∠C=90°,∴∠A+∠AOB=90°,∠D+∠COD=90°.∵∠AOB=∠COD,∴∠A=∠D.
∠A=∠D
2.如图(2),∠B=∠D=90°,AD交BC于点O,∠A与∠C有什么关系?请说明理由.
思考:①两个图形的相同点和不同点各是什么? ②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗?哪个更具一般性?
解:∠A=∠C. 理由如下: 在Rt△AOB和Rt△COD中, ∵∠B=∠D=90° ∴∠A+∠AOB=90°,∠C+∠COD=90° ∵∠AOB=∠COD ∴∠A=∠C
例1.如图,∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E.∠CAE与∠DBE有什么关系?为什么?
解:∠CAE=∠DBE,理由如下: 在Rt△ACE中, ∠CAE=90°-∠AEC.
在Rt△BDE中, ∠DBE=90°-∠BED.
∵ ∠AEC=∠BED,∴ ∠CAE=∠DBE.
如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,∠ACD与∠B有什么关系?为什么?
解:∠ACD=∠B. 理由如下:∵ ∠ACB=90°∴ ∠ACD+∠BCD=90°∵ CD⊥AB∴ ∠BDC=90°∴ ∠B+∠BCD=90°∴ ∠ACD=∠B
我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗?请你说说理由.
问题:如图,在△ABC中,∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形吗?
解: △ABC是Rt△,理由如下:在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°, ∠A+∠B=90°,∴∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°∴△ABC是直角三角形.
※直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言:在△ABC中,∵∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形.
例2.如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C,△ABD是直角三角形吗?为什么?
解:△ABD是直角三角形.理由如下:∵CE⊥AD,∴∠CED=90°,∴∠C+∠D=90°.∵∠A=∠C,∴∠A+∠D=90°,∴△ABD是直角三角形.
如图,∠C=90 °, ∠1= ∠2,△ADE是直角三角形吗?为什么?
解:在Rt△ABC中, ∠2+∠A=90°.
∵ ∠1=∠2, ∴∠1+∠A=90°.
即△ADE是直角三角形.
例3.如图所示,有一个三角尺DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上,三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B,C.(1)若∠A=35°,则∠ABC+∠ACB=_______°,∠DBC+∠DCB= ________°,∠ABD+∠ACD=_________°;(2)若∠A=60°,求∠ABD+∠ACD的度数;(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系,并说明理由.
例3.如图所示,有一个三角尺DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上,三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B,C.(1)若∠A=35°,则∠ABC+∠ACB=_______°,∠DBC+∠DCB= ________°,∠ABD+∠ACD=_________°;
解:∵∠A=35°,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=145°;∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=55°
145
90
55
例3.如图所示,有一个三角尺DEF(足够大),其中∠EDF=90°,把直角三角尺DEF放置在锐角△ABC上,三角尺DEF的两边DE,DF恰好分别经过点B,C.(2)若∠A=60°,求∠ABD+∠ACD的度数;
解:∵∠A=60°,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°;∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=30°
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系,并说明理由.
解:∠ABD+∠ACD+∠A=90°,理由如下:∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A;∵∠BDC=90°,∴∠DBC+∠DCB=90°,∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-∠DBC-∠DCB=180°-∠A-90°,∴∠ABD+∠ACD+∠A=90°.
1.已知Rt△ABC的一个锐角为25°,则另一个锐角为______.2.三角形的两个锐角分别为35°和55°,则它是_____三角形.3.已知等腰三角形的顶角是底角的2倍,则这个三角形的顶角为_____,它是____________三角形.4.如图,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC为______.
65°
直角
90°
等腰直角
80°
5.如图,∠1+∠2+∠3+∠4=______. 6.在三角形中,最大的内角不能小于_____,最小的内角不能大于_____.7.如图,已知等腰三角ABC,底角的平分线BE与底边上的高AD相交与点O,且∠BOD=55°,则∠BAC=______.
280°
60°
60°
40°
8.如图,直线a//b,Rt△ABC如图放置,若∠1=28°,∠2=80°,则∠B的度数为( )A.62° B.52° C.38° D.28°
C
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC, AD、BE相交于点F.(1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数;(2)试说明:∠AEF=∠AFE.
9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC, AD、BE相交于点F.(1)若∠CAD=36°,求∠AEF的度数;(2)试说明:∠AEF=∠AFE.
(2)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE, ∵∠ABE+∠AEF=90°,∠CBE+∠BFD=90°,∴∠AEF=∠BFD, ∵∠AFE=∠BFD,∴∠AEF=∠AFE.
※直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.
几何语言:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°.
※直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.
几何语言:在△ABC中,∵∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形.
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