高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质教学设计

《指数函数的图象和性质（3）》教学设计

1．理解指数函数的图象和性质．

2．在探究式的学习中，体会研究函数的基本方法．

重点：指数函数的概念和性质．

难点：用指数函数的性质比较不同底数、不同指数的指数幂的大小．

一、新课导入

我们分别研究了函数和的图象和性质．那么像这样底数互为倒数的两个指数函数，它们的图象与性质有什么区别和联系呢?

二、新知探究

问题1：在同一个坐标系中画出函数和的图象你能发现什么？

答案：列表

再用描点法在同一平面直角坐标系中画出上述两个函数的图象如下图：

观察图象可知，函数的图象与函数的图象关于y轴对称．

问题2：你还能用其他方法得出函数的图象与函数的图象的关系吗？

答案：将函数的解析式改写为的形式．记为，那么就可以记为．而函数的图象与函数的图象关于y轴对称．

追问：函数与函数的单调性有什么关系呢?

答案：根据函数图象可以得到，与的单调性相反．

问题3：你能总结出指数函数和(，且)之间的关系吗？

答案：一般地，指数函数和(，且)的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反．

三、应用举例

例1比较下列各题中两个数的大小：（1），；（2），．

解：利用指数函数的性质对两个数进行比较．

(1)设，则函数在R上是增函数，函数在R上是减函数，．由指数函数的性质可知而所以．

(2)设，则函数在R上是减函数，函数在R上是增函数，．由指数函数的性质可知，而所以．

例2 已知，比较和的大小，并说明理由．

解： 设，

当时，函数在R上是减函数．因为，所以．

当a时，函数，所以．

当a时，函数在R上是增函数．因为，所以．

例3已知三个指数函数的图象如图．

(1)试比较a，b，c的大小；

(2)指数函数的底数越大，它的图象与直线的交点的纵坐标是越大还是趋近于0?

解： (1)根据指数函数图象性质，可知底数越大图象上升越快，故，根据指数函数在定义域内递减可知，，所以．

(2)由图象可以观察到，指数函数底数越大，它与直线的交点的纵坐标越大．

例4 求下列函数的定义域和值域：（1） ；（2）．

解：(1)由题意知，则，所以函数的定义域为．

因为，所以，又因为，所以函数的值域为．

(2)由题意知，所以，则，所以函数定义域为．

因为，，又，则，所以，所以，所以函数的值域为．

四、课堂练习

1．比较下列各题中两个数的大小：

（1），；（2），．

2．求的值：（1）；(2)．

3．求下列函数的定义域和值域：（1）;（2）．

参考答案：1．（1）(1)因为函数在R上是减函数，且，所以；

(2)设，则函数在R上是增函数，函数在R上是减函数，．由指数函数的性质可知，而所以．

2．(1)，则，解得或．

（2），则，解得．

3．(1)由题意知，函数定义域为R．

，所以．

又，所以函数的值域为．

（2）由题意知，函数定义域为R．

，令，则，且．又当且仅当，即时取等号，

所以，所以的值域为．

五、课堂小结

指数函数和()的图象关于y轴对称，且它们在R上的单调性相反．

六、布置作业

教材第90页习题3-3B 组第1-4题．