数学必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质第2课时同步练习题

第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用

A级必备知识基础练

1.函数f(x)=+1在区间[-2,2]上的最小值为(　　)

A. B. C. D.13

2.若函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域为(　　)

A.[0,3] B.[-1,2]

C.[0,1)∪(1,3] D.[-1,1)∪(1,2]

3.(多选题)若指数函数y=ax在区间[-1,1]上的最大值和最小值的和为,则a的值可能是(　　)

A.2 B. C.3 D.

4.方程4x+2x+1-3=0的解是　　　　　. 

5.若函数y=的定义域是(-∞,0],则a的取值范围是　　　　　. 

6.函数y=的定义域是　　　　　,值域是　　　　　. 

7.已知定义域为R的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,且f=2,则不等式f(2x)>2的解集为　　　　　. 

8.已知函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,其中a>0,且a≠1.

(1)求a的值;

(2)求函数y=f(x)+1(x≥0)的值域.

B级关键能力提升练

9.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,1)

B.(-∞,-3)∪(1,+∞)

C.(-∞,-3)

D.(1,+∞)

10.若函数f(x)=的值域为(a,+∞),则实数a的取值范围为(　　)

A. B.

C. D.

11.(2021浙江高一期末)已知不等式32x-k·3x≥-1对任意实数x恒成立,则实数k的取值范围是　　　　. 

12.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则当x<0时,f(x)=　　　　　　　;当x∈R时,不等式f(x-2)>0的解集为　　　　　　　　. 

13.解下列关于x的不等式:

(1)3x-1≤2;

(2)<ax+6(a>0,且a≠1).

14.已知函数f(x)=.

(1)判断f(x)的奇偶性并证明;

(2)当x∈(1,+∞)时,求函数f(x)的值域.

15.已知函数f(x)=a-(x∈R),

(1)用定义证明:不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;

(2)若f(x)为奇函数,求a的值;

(3)在(2)的条件下,求f(x)在区间[1,5]上的最小值.

C级学科素养创新练

16.已知函数f(x)=x3.

(1)求f(x)的定义域;

(2)讨论f(x)的奇偶性;

(3)证明:f(x)>0.

第2课时　习题课　指数函数及其性质的应用

1.B　令t=,t∈,

∴g(t)=t2-t+1,对称轴为直线t=,

∴g(t)min=g.故选B.

2.D　函数f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=解得-1≤x≤2,且x≠1,所以定义域为[-1,1)∪(1,2].故选D.

3.AB　当a>1时,指数函数y=ax为增函数,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=a,最小值ymin=.所以a+,解得a=2,或a=(舍去);

当0<a<1时,指数函数y=ax为减函数,所以在区间[-1,1]上的最大值ymax=,ymin=a,所以a+,解得a=2(舍去),或a=.综上所述,a=2或者a=.

4.x=0　原方程可化为(2x)2+2×2x-3=0.设t=2x(t>0),则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),即2x=1,解得x=0.

5.(0,1)　由ax-1≥0,知ax≥1.又x≤0,所以0<a<1.

6.{x|x≥2}　{y|0<y≤1}　由x-2≥0得x≥2,所以定义域为{x|x≥2}.

当x≥2时,≥0.

又0<<1,所以y=的值域为{y|0<y≤1}.

7.(-1,+∞)　∵f(x)是偶函数,且f=2,又f(x)在(-∞,0]上单调递减,∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.

由f(2x)>2,且2x>0得2x>,即2x>2-1,∴x>-1,即不等式f(2x)>2的解集是(-1,+∞).

8.解(1)因为函数f(x)=ax-1(x≥0)的图象经过点,所以a2-1=a=.

(2)由(1)得f(x)=(x≥0),所以f(x)在区间[0,+∞)上为减函数,当x=0时,函数f(x)取最大值2,于是f(x)∈(0,2],故函数y=f(x)+1(x≥0)的值域为(1,3].

9.A　当a<0时,f(a)<1,即-7<1⇔<8⇔2-a<23⇔-a<3⇔a>-3,∴-3<a<0.当a≥0时,f(a)<1,即<1⇔a<1,∴0≤a<1.综上,-3<a<1.

故选A.

10.B　当x<1时,f(x)=,当x≥1时,f(x)=a+.

∵函数f(x)的值域为(a,+∞),

∴即a∈.故选B.

11.(-∞,2]　令t=3x(t>0),则t2-kt≥-1,

化简得k≤t+.

因为t+≥2=2,当且仅当t=1时,等号成立,所以k≤2.

12.2-x-4　{x|x<0或x>4}　设x<0,则-x>0,

∴f(-x)=2-x-4.

又f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x)=2-x-4.

于是f(x-2)>0可化为解得x>4或x<0.

13.解(1)不等式3x-1≤2,即为21-3x≤2,

故1-3x≤1,解得x≥0,

∴不等式的解集为{x|x≥0}.

(2)当a>1时,有x2-3x+1<x+6,解得-1<x<5;当0<a<1时,有x2-3x+1>x+6,解得x<-1或x>5.

所以,当a>1时,不等式的解集为{x|-1<x<5};

当0<a<1时,不等式的解集为{x|x<-1或x>5}.

14.解(1)函数f(x)是奇函数,证明如下:

∵对任意x∈R,2x+1>1恒成立,且f(-x)==-f(x),

∴f(x)是奇函数.

(2)令2x=t,则f(x)可化为g(t)==-1+,

∵x∈(1,+∞),∴t>2,∴t+1>3.

∴0<,∴-1<g(t)<-,

∴f(x)的值域是.

15.(1)证明f(x)的定义域为R,任取x1,x2∈R,且x1<x2,

则f(x1)-f(x2)=a--a+.

∵x1<x2,∴<0,(1+)(1+)>0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴不论a为何实数,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.

(2)解∵f(x)为奇函数,且x∈R,

∴f(0)=0,即a-=0,解得a=.

(3)解由(2)知,f(x)=,由(1)知,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,故f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1).∵f(1)=,∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为.

16.(1)解由题意得2x-1≠0,即x≠0,

∴f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

(2)解f(x)=·x3,

∴f(-x)=·(-x)3=-·x3=f(x),∴f(x)为偶函数.

(3)证明当x>0时,2x>1,x3>0,

∴2x-1>0,∴>0.∴f(x)>0.

由偶函数的图象关于y轴对称,知当x<0时,f(x)>0也成立.故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),恒有f(x)>0.