北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数1 指数幂的拓展教案及反思

 《指数幂的拓展》教学设计

1．理解分数指数幂、实数指数幂的概念．

2．经历从整数指数幂拓展到实数指数幂的过程，体会数学的发展过程．

重点：理解分数指数幂的概念．

难点：用有理数指数幂逼近无理数指数幂．

一、新课导入

同学们你们还记得初中我们学习过的整数指数幂的运算性质吗？

整数指数幂及其运算性质：

无意义；

，，，，

其中，，是正数，m、n是正整数．

二、新知探究

问题1：薇甘菊的侵害面积(单位：)与年数t满足关系式，其中为侵害面积的初始值．根据这个关系式，我们可以计算经出10年后，薇甘菊的侵害面积是，其中是我们学过的整数指数幂的形式，那么经过15.5年，薇甘菊的侵害面积是多少呢?我们怎样表示?

答案：经过15.5年后，根据关系式得到侵害面积．

设计意图：引导学生从实际背景中体会分数指数幂产生的必要性．

追问：由刚才的，我们发现指数不是整数而是小数，即也可以把指数看作分数，那么我们该如何定义分数指数幂呢？

答案：给定正数和正整数m、n，（n>1，且m、n互素)，若存在唯一的正数，使得=，则称为的次幂，记作=，这就是正分数指数幂．

例如：若=，则=；若=，则=．

设计意图：帮助学生理解抽象的概念．

问题2：类比负整数指数幂和正分数指数幂的定义，我们可以给出负分数指数幂的定义吗？

答案：类似负整数指数幂的定义，可以定义负分数指数幂．给定正数和正整数m、n（n>1，且m、n互素)定义

．

至此，指数幂已经从整数指数幂拓展到有理数指数幂了．

问题3：指数幂的范围还可以拓展到无理数指数幂吗?

解：下面以为例来认识无理数指数幂

因为无理数，所以．

上述不等式中，左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值．把以10为底数、的不足近似值为指数的各个幂，由小到大排成一列数

，，，，，

同样，把以10为底数、的过剩近似值为指数的各个幂，由大到小排成一列数

，，，，，

借助计算器，可得下表

从表可以看出，的不足近似值和过剩近似值相同的位数越多，即的近似值精确度越高，以其不足近似值和过剩近似值为指数的幂会越来越趋近于同一个数，我们把这个数记为，即=25.954．

一般地，给定正数，对于任意的正无理数，可以用类似的方法定义一个实数．自然地，规定：．例如，．这样，指数幂中指数的范围就拓展到了全体实数．

三．应用举例

例1：把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：

（1）=20；（2）=；（3）=(m、n)．（4）=(m、n)．

解：（1） ；（2） ；（3） ；（4）．

注意：①被开方式中字母取值为正数；

②不是所有的根式形式都能改写成正分数指数幂的形式，例如，尽管有，但不可以写成的形式；

③有时我们把正分数指数幂写成根式，即 ．

例2 计算：（1） ；（2） ；（3） ．

解：（1）设，由定义，得=，8．

（2）由负分数指数幂的定义，得，设，由定义，得=27，3，所以．

（3）由负分数指数幂的定义，得，设，由定义，得==，即，所以．

四、课堂练习

1．把下列各式中的写成负分数指数幂的形式：

（1）32 ； ；（3）(m、n)．

2．计算：（1） ；（2）．

参考答案：

 1．（1） ；（2） ， （3） ．

2．(1)

（2）

五、课堂小结

1.正分数指数幂：给定正数和正整数m、n，（n>1，且m、n互素)，若存在唯一的正数，使得=，则称为的次幂，记作=，这就是正分数指数幂．

2.负分数指数幂：给定正数和正整数m、n，（n>1，且m、n互素)，定义，这就是负分数指数幂．

2．指数幂中指数的范围可以拓展到全体实数．

六、布置作业

教材第77页练习题3-1A组第1~3题．