高中数学北师大版 (2019)必修 第二册1.1 复数的概念教学设计

第五章  复数

5.1复数的概念及其几何意义

1.通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念，并能理解复数的几何意义；

2.回顾数系的每一次扩充，体会为什么要引人复数，并通过学习复数的几何意义，领悟数形结合的数学思想；

3.利用复数的定义解决负数开平方的问题；

4.激发学生的创新意识，积极参与数学学习活动，增强对数学的好奇心和求知欲．

教学重点：复数的概念及复数的几何意义．

教学难点：复数的引入，理解复数引入的必要性以及复数与复平面及向量的一一对应关系．

一、新课导入

情境：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，当时没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决．事实上，数学家在研究解方程问题时造就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避．直到1545年，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，用求根公式、因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果，于是再也无法回避这个问题了．

例如，求解时，利用三次方程的求根公式可以得出三个根或；而通过因式分解，得，因此方程的三个根为，于是就得到这个在当时无法理解的等式，数学家们就去尝试研究诸如的问题．在解决这些问题的过程中，他们遇到的最大的困扰就是，负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？

设计意图：通过复习回顾数集的扩展，激发学生的好奇心与求知欲，为本节课的学习做好准备.

二、新知探究

问题1：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系．回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？

（1）在自然数集中求方程的解；

（2）在整数集中求方程的解；

（3）在有理数集中求方程的解；

（4）在实数集中求方程的解．

答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要．

计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系．

（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．

方程在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z内便有解；方程在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解；

方程在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解．

方程在实数集R内无解．

问题2：方程在实数系中无解，类比从自然数系扩充到实数系的过程，特别是从有理数系扩充到实数系的过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

答案：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法与乘法运算，与实数集中加法与乘法运算协调一致，并且运算律保持不变．

追问：引入一个什么样的数呢？

答案：历史上，瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出了“新数”，叫做虚数单位，并规定：

（1），这样就是方程的解；

（2）实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．

问题3：把新引进的数添加到实数集后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？

答案：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数进行运算构成的．把实数与新数相加，得到；把实数与新数相乘，得到；把实数与实数与相乘的结果相加，得到．比如：，，，等．

追问1：你能写出一个形式，把前面提到的数都包含在内吗？

答案：所有新数集中的数都可以写成（，）的形式，因为，，，．

我们把形如（，）的数叫做复数．通常用字母表示，即（，），其中称为复数的实部，记作，称为复数的虚部，记作．

追问2：你能写出新数集的集合吗？

答案：全体复数构成的集合为，，叫做复数集，用字母一般记作．

追问3：复数集与实数集有什么关系呢？

答案：对于复数（，），当且仅当时，它是实数，当且仅当时，它是实数，当时，叫做虚数，当且时，叫做纯虚数．即：

显然实数集是复数集的真子集，即．

思考：你能写出自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集的关系，并用图表示吗？

答案：自然数集包含于整数集，整数集包含于有理数集，有理数集包含于实数集，实数集包含于复数集（），事实上，这里的包含于符号，也都可以换成真含于的符号，就是说左边的集合都是右边集合的真子集．

问题4：我们知道复数集是由形如（，）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，那么，两个复数和（，）相等的含义是什么呢？

答案：复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等．所以，复数与相等，当且仅当且．

应当注意：两个实数可以比较大小，但是两个负数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等．例如，和之间无大小可言．

想一想：我们知道实数与数轴上的点一一对应，可以用数轴上的点来表示实数，复数由实部和虚部两个实数确定，这个特征与你之前遇到的什么数学对象类似？

答案：复数的这个特征，与平面上点的坐标，平面向量的坐标等类似，因此复数（，），可以看成是一个有序实数对．

追问1：由此你能想到复数的几何表示方法吗？

答案：因为任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定．所以复数与有序实数对是一一对应的．而有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集是一一对应的．如图，点的横坐标是，纵坐标是，复数可用点表示．

设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义．

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．

例如，复数可用点表示，复数可用点表示；点表示复数，点表示复数．

追问2：你能说一说两条坐标轴上的点都代表什么数吗？

答案：实轴上点的坐标都是的形式，所表示的复数虚部为，都是实数，即实轴上的点都表示实数．虚轴上的点，除原点外，其他坐标都是（）这样的形式，所表示的复数实部为，虚部不为，为纯虚数，所以虚轴上的点除原点外都表示纯虚数．

例如，复平面内的原点表示实数，实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数，点表示复数等．

按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系．这就是复数的一种几何意义．

设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面．

问题5：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？

答案：如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数与零向量对应），即：

这是复数的另一种几何意义．

为了方便，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一复数．

问题6：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？

答案：数轴上表示数的点到原点的距离，就叫做这个数的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模．

类比可以得到，复数（，）的模：（，），从几何上来看复数（，）的模表示点到原点的距离．

注意：虽然两个复数一般不能比较大小，但是它们的模是非负实数，可以比较大小．

【概念巩固】

设复数，．求复数，的模，并比较它们的模的大小．

解：，．所以．

追问1：，有怎样的关系？

答案：，的实部相等，虚部互为相反数．

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数，那么．

追问2：，在复平面内所对应的点有怎样的关系？

答案：关于实轴对称．

总结：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；

互为共轭复数的两个复数的模相等；

任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然．

设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想．

三、应用举例

例1 说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数：

（1）；（2）；（3）．

解：（1）的实部与虚部分别是和，它是虚数，但不是纯虚数；

（2）的实部与虚部分别是和，它是虚数，而且是纯虚数；

（3）的实部与虚部分别是和，它是实数．

例2 设，，求的值．

解：由复数相等的定义，得

解这个方程组，得

例3 在复平面内，表示下列复数的点的集合是什么图形？

（1）；（2）3．

解：（1）复数的模等于表明，向量的模等于，即点到原点的距离等于，因此满足条件的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆．

（2）不等式可以化为不等式组

满足的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆及其内部所有的点构成的集合；满足的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆及其外部所有的点构成的集合；因此，满足的点的集合是这两个集合的交集，即以原点为圆心，以和为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界．

例4 在复平面内作出表示下列复数的点，并分别求出它们的模和共轭复数：

（1）；（2）．

解：在复平面内作图如下：

（1），；

（2），．

四、课堂练习

1.当实数m取什么值时，复数是下列数？

（1）实数；（2）纯虚数；（3）.

2.已知复数i在复平面内对应的点位于第二象限，且，则复数 ________．

3.在复平面内，向量表示的复数为，将向量向右平移1个单位长度后，再向上平移2个单位长度，得到向量，则向量对应的复数是________．

参考答案：

1.解：（1）当，即m=-1或m=6时，复数z是实数；

（2）当，且，即m=4时，复数z是纯虚数；

（3）当，且，即时，复数．

2. 解：∵i在复平面内对应的点位于第二象限，

∴．

由，得 ，解得或(舍去)，

∴i．

3.解：向量平移后得到向量，则，因而向量所对应的复数是．

注意：(1)向量平移后，所得向量的坐标不变．(2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部．

五、课堂小结

1.复数的概念：

形如（，）的数叫做复数．通常用字母表示，即（，），其中称为复数的实部，称为复数的虚部．

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

2.两个复数相等的含义：复数与相等，当且仅当且．

3.复数的模及几何意义：

复数（，）的模：（，），从几何上来看复数（，）的模表示点到原点的距离．

复数复平面内点平面向量

六、布置作业

教材第167页练习第1-4题．