高中北师大版 (2019)2.3 三角函数的叠加及其应用教学设计及反思

第四章  三角恒等变换

4.2.3  三角函数的叠加及其应用

1．通过两角和与差的三角函数公式，可以进行三角函数的化简.

2．通过辅助角公式化简含有未知角三角函数式.

教学重点：利用两角和与差的三角函数公式，将三角函数式化简成的形式．

教学难点：对辅助角公式应用的理解．

一、新课导入

温故知新：同学们，我们上节课学习了两角和与差的三角函数公式，一起回顾一下.

答案：两角和与差的三角函数公式

想一想：我们之前学习三角函数的时候，常用的形式，我们能否把两角和与差的三角函数公式把的三角函数式转化成的三角函数式呢？这节课我们一起来探讨一下.

设计意图：学生上节课刚刚学习了两角和与差的三角函数公式，但是应用还是停留在计算三角函数值的基础上，这节课的核心是把公式的用法进一步拓展到形如三角函数的化简上，是建立两者之间的桥梁．

二、新知探究

问题1：请同学们化简以下式子，并在小组内交流你们用的是什么方法？

（1）

（2）

分析：（1）中通过观察式子的形式，不难发现和展开后极其相似，故需逆向还原回去达到化简的目的；（2）中的两个系数存在隐藏关系，故可以将它们化为三角函数的形式，然后用（1）中思路化简.

答案：（1）由公式可得

（2）可以将分别看成和.

由公式可得

在（2）中，都比较特殊，那如果面对一般的系数，还能用类似的方法化简吗？

问题2：将化简成的形式.

答案：问题的关键在于如何把系数化成三角函数的形式，这时候就要引入辅助角公式来协助解题了.

答案：一般地，当不同时为0时，

根据，引入辅助角，使得

所以（不同时为0）

其中角所在象限由的符号确定，角的值由和的值确定，也就是由来决定.

设计意图：本环节的重点是三角函数式的化简，其中特别留意辅助角公式的使用，我们在给学生讲述这个公式时，可以给学生带入一些常见的比值让他们更好地理解，比如或1:1，让他们体会这个变换的关键点.

三、应用举例

例1：求的最大值和最小正周期.

分析：式子中两个系数的比值满足，故可以通过提取公因式2，使式子中出现和.

解：

显然的最大值为2，最小正周期

例2：求的最值和最小正周期.

解：

其中

显然的最大值是13，最小值是-13，最小正周期

四、课堂练习

1.求函数的最大值和最小正周期

2. 求函数的单调递增区间.

参考答案：

1. 解：                  

显然，函数的最大值为，最小正周期

2.解：

可得函数的单调递增区间为

五、课堂小结

我们要灵活运用两角和与差的三角函数公式，把的三角函数式转化成的三角函数式.

结合辅助角公式能够帮助我们更好地解决这个问题.

六、布置作业

教材P149  练习第1、3题，P152 B组第9题．