高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2 直观图教案及反思

第六章  立体几何初步

6.2直观图

1．能用斜二次画法画出简单空间图形的直观图．

2．掌握在平面上表示空间图形的方法和技能，能够通过直观图理解空间图形．

3．重视斜二测画法，培养学生的画图能力．

教学重点：用斜二测画法画出空间几何体的直观图．

教学难点：识别水平放置的平面图形的直观图.

一、新课导入

想一想：前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征.之前都是老师给大家展示.现在，让大家自己画出来，能做到吗？

 为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要学习直观图的有关知识.

设计意图：通过实际图形引出直观图，方便学生理解，也联系和复习了前面的知识.

二、新知探究

要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形.

问题1：如何画出水平放置的正六边形的直观图？

答案：（1）在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴HG为y轴，两轴相交于点O.

（2）另选一平面画直观图，先画相应的x'轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°.将线段AD在直观图中画成x'轴上的线段A′D′，且保持原长度不变，点O′是A′D′的中点；将线段HG画成y′轴上的线段H′G′，且长度为原来的一半，点O′是H′G′的中点.

（3）将线段FE，BC在直观图中分别画成平行于x′轴的线段F′E′，B′C′，且保持原长度不变，点H′，G′分别是F′E′，B′C′的中点.

（4）连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′.

（5）擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.

上述画直观图的方法即斜二测画法.

说一说：同学们能够总结出斜二测画法的规则吗？

答案：①在已知图中建系xOy，画直观图时建系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°；

②已知图形中平行于x轴和y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴与y′轴的线段；

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的；

④连线成图，擦去辅助线.

追问1：平面图形的直观图我们会画了，立体图形的直观图怎么画呢？

答案：在平面图形直观图的基础上加一个z轴．

问题2：如何画出长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体的直观图？

答案：①画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.

②画底面，在x轴上取线段AB=4 cm；在y轴上取线段DA=1.5 cm.分别过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，交于点C，四边形ABCD就是长方体的底面.

③画侧棱，过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上向z轴正方向分别截取2 cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'.

④成图，顺次连接点A'，B'，C'，D'，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到所求长方体的直观图.

思考：画水平放置的平面图形与立体图形的直观图之间有什么区别？

答案：立体图形与平面图形相比，多了一个z轴，其直观图对应于z轴的是z'轴，平行于z轴的线段，在直观图中其平行性与长度均不变.

问题3：你能仿照上面的步骤，画出正五棱锥的直观图吗？

答案：（1）画底面（根据平面图形直观图的画法）；

（2）画z′轴，使∠x′O′z′=90°，并画高线S′O′（与原高相等），连线成图.

（3）擦去辅助线，被遮线画成虚线．

追问1：用斜二测画法画几何体的直观图的步骤是什么？

答案：①先画几何体的底面（平面图形直观图的画法）；

②增加一条z′轴，使得z′轴与x′轴、y′轴垂直，在直观图中画出平行于z′轴的对应线段，长度保持不变；

③连线成图，擦去辅助线.

总结：几何体的直观图做法没有非常固定的步骤，大体可分为四步：①画轴，②画底，③画高，④成图.

关于斜二测法的几点说明：

①在已知图形中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，尽量运用原有直线(或图形的对称轴所在的直线、原有的垂直正交的直线等)为坐标轴.

②在原图中与坐标轴平行的线段在直观图中依然与坐标轴平行，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.

思考：下面的说法正确吗？为什么？

（1）水平放置的正方形的直观图可能是梯形；

（2）两条相交直线的直观图可能平行；

（3）互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直.

答案：（1）错误，水平放置的正方形的直观图是平行四边形；

（2）错误，两条相交直线的直观图仍然相交；

（3）错误，互相垂直的两条直线的直观图不一定垂直，比如x轴与y轴.

    总结：原图中平行的线段在直观图中依然平行.

设计意图：分别通过正六边形、长方体和正五棱锥的直观图的作图过程，带领学生了解斜二测画法的过程，并且区别出平面图形直观图与立体图形直观图的不同之处．最后总结出注意点.

三、应用举例

例1 如图是底面边长为3 cm、高为6 cm的正六棱柱的直观图，请指出底面ABCDEF、对角面SFC、侧面SFE的真实形状，并画出相应的图形.

答案：底面ABCDEF是边长为3 cm的正六边形.

设点O是底面ABCDEF的中心

在Rt△SOC中OC = 3 cm，（cm）.

所以对角面SFC是两腰长为cm，底边长为6 cm的等腰三角形；侧面SFE是两腰长为cm，底边长为3 cm的等腰三角形.

它们的形状如下：

例2 有一纪念碑，底座是一个长方体，长2 m，宽1.5 m，高0.5 m；底座上面的碑体也是长方体，放在底座的正中，各面相对应的与底面的各面平行，碑体长1 m，宽0.75 m，高2.5 m.请用1 cm表示1 m，画出该纪念碑的直观图.

答案：（1）建系；

（2）画底座（底座中心在坐标原点，长在x轴方向，长度2 cm；高在z轴方向，长度0.5 cm；宽在y轴方向，长度0.75 cm）；

（3）在底座上方画碑体（长在x轴方向，长度1 cm；高在z轴方向，长度2.5 cm；宽在y轴方向，长度0.375 cm）；

（4）擦去辅助线，连线成图.

总结：组合体的直观图只需将组合体拆开，分别作图即可.

设计意图：通过例题，熟悉斜二测画法的简单应用． 

四、课堂练习

1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图中对应的这两条线段（    ）

A. 平行且相等                         B. 平行不相等

C. 相等不平行                         D. 既不平行也不相等

2．用斜二测画法画出下列图形:

（1）水平放置的边长为3 cm的正方形;

（2）底面边长为4 cm，高3 cm的正三棱柱.

3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′=2，则原平面图形的周长为             .                        .

参考答案：

1. 根据直观图出作法，平行于x轴的线平行性与长度不变，平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原来的一半.故在原图中两线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段也平行且相等.故选A.

2．（1）   （2）

3.分析：先还原成原平面图形，再进行计算．

解：根据题意，把直观图还原出原平面图形，如图所示

其中：OA=，OD=4，AB=CD=2，则AD=，

故原平面图形的周长为．

五、课堂小结

1.画图形直观图的方法叫做斜二测画法．大体分四步：①画轴，②画底，③画高，④成图．

2.平行于坐标轴的线段，在直观图中依然平行于坐标轴．

3.只有平行于y轴的线段，在直观图中长度减半．

六、布置作业

教材第204页习题6-2第2，3，4题．