北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化教案

第一章  三角函数

1.1 周期变化

1.通过生活实例及部分呈周期变化的函数，得到周期函数及周期、最小正周期的概念，并能认识三角函数是刻画周期现象的重要模型．

2.对周期变化的函数有初步的了解与认识，能够用数学刻画生活中的周期变化，用数学的观点和从数学的角度认识实际问题．

重点：周期函数及周期的概念．

　　难点：识别身边的周期现象，并用周期函数刻画周期现象．

“日升日落，四季更迭，东去春来，草木荣枯，”这些现象有什么共同特征呢？

（重复出现、循环往复；周而复始，始而复周的周期变化）

二、新知探究

问题1：在日常生活或是自然界中，你感受到了哪些周期变化的实例？请举例说明，并交流周期变化有哪些特征？

答案：海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这是一种周期变化；钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期变化．周期变化是每隔一段时间就重复出现的变化．

问题２：我们怎样从数学的角度刻画周期变化呢？

例１：讨论函数f(x) =(-1)[x]的图象和性质．

追问１：函数y=[x]是怎样的函数？

答案：对于每一个实数x，其函数值y=[x]是不超过x的最大整数，它不是偶数就是奇数．

追问２：做出函数f(x) =(-1)[x]的图象：

答案：根据初中学习的幕运算，可以推出：当[x]是偶数时，函数f(x)= (-1)[x]的值是1；当[x]是奇数时，函数f(x)= (-1)[x]的值是-1．

作出函数图象如下：

追问３：根据图象，讨论函数f(x) =(-1)[x]的性质．

答案：显然，对于任意一个实数x，每增加2的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以函数f(x) =(-1)[x]变化是周期性的．

例2：讨论函数f(x) =x-[x]，画出它的图象，并观察其性质．

追问４：作出函数f(x) =x-[x]的图象．

答案：函数f(x) =x-[x]的意思是一个数减去它的整数部分，只保留其小数部分，清楚这个意思，就很容易画出它的图象了．

追问５：从图中得到函数f(x) =x-[x]的哪些性质?

答案：观察图像，可以得到，对任意一个实数x，每增加1的整数倍，其函数值保持不变，也就是说，在相同的“间隔”下，这种变化是重复进行的，所以该函数的变化也是一种周期变化．

问题３：函数f(x) =x-[x]与函数f(x) =(-1)[x]的共同特点是什么？

答案：都具有周期变化的特点．（都为周期函数）

【概念提炼】

周期函数：

一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D ，都有x+T∈D且满足

f(x+T)=f (x)，

那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

问题４：如何理解概念中的“任意”？

答案：周期函数定义中的“f(x+T)=f(x)”是对定义域中的每一个x值来说的，只有个别的x值满足f(x+T)=f(x)，不能说T是y=f(x)的周期．

追问１：周期函数的周期是否只有一个?

答案：不是，比如对于例1中的函数f(x)=(-1)[x]来说，任何一个非零偶数都是它的周期．

对于例2中的函数f(x)=x-[x]来说，任何一个非零整数都是它的周期．

周期函数定义的实质：存在一个非零常数T，对定义域内的任意x，均有f(x+kT)=f(x)，其中k∈Z，即自变量x每增加一个T后，函数值就会重复出现一次．

追问２：既然周期不唯一，如何选取某一个周期作为代表来表征函数的周期呢？

【概念提炼】

最小正周期：

如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期．

若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．

【概念辨析】

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．

(1)若函数f(x)满足f(0)=f(5)=f(10)，则它的周期T=5．(　　)

(2)若函数f(x)的周期T=5，则f(-5)=f(0)=f(5)．(　　)

(3)若函数f(x)为R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，则f(2 020)=0．(　　)

答案(1)×　(2)√　(3)√

三、应用举例

例3. 讨论函数是否为周期函数，如果是，请指出它的周期．

分析：当给赋值，可以发现规律．

　　解：当时，该函数的取值为8，6，8，6，8，…

可见它是周期函数，且周期T=2．

例4. 若对任意x∈R，函数f(x)满足f(x+2019)=-f(x+2020)，求函数f(x)的周期．

分析：周期函数的代数特点f(x+T)=f (x)，如何将f(x+2019)=-f(x+2020)的结构转化为f(x+b)=f (x)？处理障碍1：负号变正；处理障碍2：找到常数T．

解析：由f(x+2 019)=-f(x+2 020)

得f(x+2 019)=-f(x+2 019+1)

令x+2 019=t，即f(t+1)=-f(t)

所以f(t+2)=f(t)，

即函数f(x)的周期是2．

【变式】若对任意x∈R，函数f(x)满足，求函数f(x)的周期．

答案：由，得，即.

设计意图：通过例题1和变式训练，进一步熟悉周期函数的代数结构特点，并能从题干所给条件转化为周期函数需具备的结构.

思考总结：         

函数周期性的常用结论

（1）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？

（2）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？

（3）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？

（4）若对任意，函数满足，则函数的周期T=？

答案：四个思考题答案均为

（请三位学生推导完整过程并板（2）、（3）、（4），最后教师总结）

例５．设定义在R上的数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，则f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=　　　．

解：由f(x+2)=f(x)，得函数f(x)的周期T=2，

又当x∈[0，2)时，f(x)=2x-x2，

所以f(0)=0，f(1)=1，

所以 f(0)=f(2)=f(4)=…=f(2018)=0，

           f(1)=f(3)=f(5)=…=f(2017)=1．

故   f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2018)=1009．

反思：函数周期性利用——由局部性质得到整体性质．

【变式】设定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)=f(3)，且f(x)为偶函数，若f(1)＜1，

，求实数a的取值范围．

解析：由f(x)为定义在R上的周期为3的偶函数

            得 f(5)=f(5-6)= f(-1)= f(1)．

            由f(1)＜1，       

得，

            解得 -1＜a＜4．

四、课堂练习

1. 若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2，则f(8)-f(4)的值为(　　)．

A.-1            B.1          C.-2              D.2

2. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，当x∈(0，2]时，f(x)=2x+x，

则f(2019)=(　　)．

A.5            B. -5          C.2               D.-2

3. 十字路口处红绿灯亮灭的情况如下:1 min亮绿灯，接着10 s亮黄灯，再接着1 min亮红灯，10 s亮黄灯，1 min亮绿灯……刚开始亮绿灯时，某人过路口，10 min后又回到此路口，此时应该亮　　　　灯. 
4. 已知f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-2.5)=　　　　．

参考答案：

1．由于f(x)的周期为5，且为奇函数，所以f(8)=f(5+3)=f(3)=f(5-2)=f(-2)=-f(2)=-2，f(4)=f(5-1)=f(-1)=-f(1)=-1，所以f(8)-f(4)=-2-(-1)=-1．

答案：A．

2．由f(x)=-f(x+2)，得f(x+4)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以

f(2 019)=f(504×4+3)=f(3)=f(1+2)=-f(1)=-(2+0)=-2．

答案：D．

３．红绿灯的亮灭以140 s为一个周期，600=140×4+40，所以是绿灯．

答案：绿灯．

４．f(-2.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5．

答案0.5．

五、课堂小结

　　1.周期函数

一般地，对于函数y=f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D ，都有x+T∈D且满足

f(x+T)=f (x)，

那么函数y=f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期.

2.最小正周期

如果在周期函数y=f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y=f(x)的最小正周期.

若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．

知识脉络：

六、布置作业

教材第3页练习第1，2，3题；第4页A组第2，3题，B组第1题．