北师大版 (2019)必修 第二册2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用教案

第四章  三角恒等变换

同角三角函数的基本关系

4.2.2  两角和与差的正弦、正切公式及其应用

1．能借助诱导公式推导两角和与差的正弦公式.

2．能同角三角函数的基本关系推导出两角和与差的正切公式.

3．通运用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简.

重点：两角和与差的正弦、正切公式及其推导，了解其内在联系．

难点：两角和与差的正弦、正切公式的推导、记忆，灵活运用公式进行求值、化简．

一、新课导入

温故知新：同学们，一起回忆一下上节课所学的两角和与差的余弦公式是？

答案：两角和与差的余弦公式如下：

，记作

，记作

同学们，既然有余弦公式，那就肯定有正弦公式和正切公式，这节课我们继续探究余下的两个公式.

设计意图：由于这两节课的核心问题都是两角和与差的三角函数公式，学生的学习重点在于公式的推导和应用，因此引入部分开门见山地提出问题即可，把时间留给推导过程．

二、新知探究

问题1：大家根据诱导公式和两角和的余弦公式，求出两角和的正弦公式.

分析：问题的关键点在于如何利用诱导公式实现余弦和正弦的转化，比较简单的应该是

利用这个实现正弦余弦间的转化，我们只需用替换即可求出两角和的正弦公式.

答案： 根据诱导公式和两角和的余弦公式，可得

故

上节课中，我们在求出两角差的余弦公式后，巧妙地用求出两角和的余弦公式，此处我们也可以用类似的处理方式求出两角差的正弦公式.

至此，我们就得到了两角和与差的正弦公式：

，记作

，记作

问题2：请大家借助，推导两角和与差的正切公式.

答案：由正切函数的定义，有

目前得到的式子较为复杂，并没有和产生联系，故需要进行特殊处理，将分子分母同时除以，可得两角和的正切公式，同理可得两角差的正切公式：

但是这里要注意，从推导过程中不难发现，我们需要保证都有意义才行，那么对应的取值范围是：

总结：至此，我们得到了所有两角和与差的三角函数公式

同学们可以根据式子的特点进行记忆，熟能生巧.

设计意图：在这个环节中最为重要的是公式的推导过程，因此教师一定要详细地给学生展示公式的推导，并且可以给学生多总结一些式子的特点和记忆的技巧，帮助他们快速地将6个公式记住.

三、应用举例

例1：已知，为第三象限角，求，的值.

分析：先求出，然后直接代入公式求解即可.

解：由为第三象限角，得

所以

想一想：为什么本题中，是巧合吗？

例2：已知，，其中，求：

（1）              （2）

分析：可直接代入公式求解，但是要注意角的范围.

解：

因为所以 .

在和之间，只有的正切值等于1，故

四、课堂练习

1.已知，的值.

2.已知求, tan的值.

参考答案：

1. 解：因为，得

所以

2.解：因为，所以

五、课堂小结

1. 两角和与差的三角函数公式

2.大家在使用以上公式进行计算的时候，一定要时刻注意三角函数值得符号问题.

六、布置作业

教材第147页练习第2、5、6、8题．