《基本立体图形》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】

第六章  立体几何初步

6.1基本立体图形

第一课时  基本立体图形

1．通过丰富的模型分析，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；

2．能够运用柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征描述现实生活中简单物体的结构；

3．培养学生观察、分析、思考的科学态度.

教学重点：简单几何体的有关概念．

教学难点：对简单多面体中棱柱、棱台概念的理解．

一、新课导入

想一想：观察下列图片，你能发现哪些几何体？

答案：有正方体、圆锥、球…

二、新知探究

问题1：在平面几何中，构成图形的基本元素有哪些呢？

答案：点和线.

追问1：以长方体为例，请同学们思考构成立体图形的基本元素有哪些？

答案：点、线、面.

今天我们从常见的长方体开始，学习基本立体图形．我们称，相邻的两个面的公共边，叫做长方体的棱；棱和棱的公共点，叫做长方体的顶点．

追问2：长方体共有几个面，几条棱，几个顶点？

答案：6个面，12条棱，8个顶点．

追问3：通常我们用什么图形来表示平面呢？

答案：平行四边形．

总结：平面是空间最基本的图形；一般地，用平行四边形表示平面．平面通常用希腊字母，等表示，也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面；还可以用表示平行四边形顶点的两个相对顶点的字母表示，如平面．

当两个平面相交时，可以把被遮挡部分画成虚线或者不画，这样看起来更加立体．

设计意图：通过图片实例引出空间几何体的基本构成要素，长方体的例子学生更加熟悉、清晰，易于理解．

问题2：观察下列几何体，根据围成几何体的面的特征，可以把几何体分成几类？

答案：第1、4、5个分一类，第2、3、6个分为另一类．

追问1：你的分类标准是什么呢？

答案：根据围成几何体的面是否含有曲面分类，（1，4，5都是由平面围成的，2，3，6是由平面和曲面围成）．

多面体及相关概念：

我们把由平面多边形围成的几何体称为多面体．这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点．

想一想：观察下列多面体，请同学们相互讨论，思考它们还有什么共同特征？

答案：每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在的平面都平行，其余各面是由平行四边形围成的．

棱柱及其相关概念：

像这样，有两个面相互平行；其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体称为棱柱.

两个互相平行的面称为棱柱的底面，简称底，其余各面称为棱柱的侧面，相邻侧面的公共边称为棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点称为棱柱的顶点，既不在同一底面上，也不在同一侧面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线，两底面间的距离，即棱柱的高．

棱柱的表示：

表示：棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点字母来表示，如图中的棱柱可以表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1．

问题3：图中的棱柱有哪些不同点？说说你的看法.

答案：它们有两个面的边数不同，分别是三角形、四边形、六边形、四边形、五边形.

棱柱的分类：

棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形......这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱......

追问1：图中的棱柱分别是几棱柱？

答案：（1）三棱柱，（2）四棱柱，（3）六棱柱，（4）四棱柱，（5）五棱柱．

直棱柱与正棱柱的概念：

侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱．底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱．

平行六面体的概念：

底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体.

想一想：长方体是棱柱吗？如果是，满足什么条件的棱柱才是长方体？

答案：是.底面为矩形的直棱柱是长方体.

追问1：那正方体呢？

答案：棱长都相等的正棱柱是正方体.

问题4：请同学们观察下面棱柱，你能发现棱柱的哪些性质？请大家相互以小组为单位讨论.

答案：（1）侧棱都相等；

（2）两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；

（3）过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形.

总结：以上3条是棱柱的一些常用性质，继续学习后，后面可以证明.

设计意图：通过对几何体的直观分类，引出多面体的概念，再总结出棱柱的相关概念.通过形象的图形让学生直观的体会棱柱的特征．

想一想：观察下列多面体，请同学们观察这一类多面体有什么共同特征？

答案：有一面是多边形，其余各面都是三角形，且三角形有一个公共顶点．

棱锥及其相关概念：

上图中的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥．

棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形......这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥......其中，三棱锥也称四面体.（如上图从左至右分别是三棱锥、四棱锥、五棱锥.）

多边形ABCDEF是棱锥的底面，简称底，其余各面称为棱锥的侧面，相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，各个侧面的公共点称为棱锥的顶点，顶点到底面的距离称为棱锥的高.

正棱锥及斜高的概念：

如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥．正棱锥的各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．

棱锥的表示：

表示：棱锥可以用它的顶点和底面各顶点的字母来表示，也可以用顶点和底面一条对角线端点的字母来表示，如图中的棱锥可以表示为棱锥S-ABCDEF或棱锥S-AC．

问题5：棱锥有没有类似棱柱的性质呢？

答案：棱锥的侧棱相交于一点，如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似.

设计意图：通过形象的图形，引出棱锥的相关概念，使学生形象的感知棱锥的相关特征．

棱台及其相关概念：

用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台．

原棱锥的底面和截面分别称为棱台的下底面和上底面，其余各面称为棱台的侧面，相邻两个侧面的公共边称为棱台的侧棱，上底面、下底面之间的距离称为棱台的高.

棱台的分类：

由三棱锥、四棱锥、五棱锥......所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台......

正棱台及斜高的概念：

正棱锥截得的棱台称为正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高．

棱台的表示：

表示：棱台可以用它的两个底面各顶点的字母来表示，也可以用它的某一条对角线的两个端点字母来表示，如图中的棱台可以表示为棱台ABC-A1B1C1或棱台AC1．

思考：有两个面平行的多面体一定是棱台吗？

答案：不一定.

追问1：如何判断一个多面体是不是棱台？

答案：先看有没有平行的两个面，再延长侧棱，看是否交于一点.

总结：判断一个多面体是不是棱台关键要看侧棱延长后是否交于一点.

设计意图：紧接着棱锥的学习，引出棱台的相关概念，使学生形象的感知棱锥的相关特征，并理解棱锥与棱台的关系．

问题6：我们知道点动成线、线动成面、面动成体，想一想，球可以看成是由哪一个平面图形通过怎样运动得到的呢？

球面与球体及其相关概念：

以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球．

半圆的圆心称为球心，连接球心和球面上任意一点的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径.

球的表示：球用表示它球心的字母来表示，如球O．

追问：请同学们联系平面中圆的性质，猜想球体有哪些性质？

答案：（1）球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径；

（2）用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径.

旋转面、旋转体的概念：

一个平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，这条定直线称为旋转轴．封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．

思考：前面我们分出的第二类几何体是旋转体吗？如果是，它们分别是由什么平面图形旋转而来的？

答案：第一个是直角梯形旋转而来的，第二个是直角三角形旋转而来的，第三个是长方形旋转而来的.

圆柱、圆锥、圆台及其相关概念：

分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的面所围成的几何体分别称为圆柱、圆锥、圆台．

需要注意，与棱台类似，圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的.

在旋转轴上的这条边的长度称为它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面称为它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面称为它们的侧面，无论旋转到哪里，旋转成侧面的边都称为侧面的母线.

圆柱、圆锥、圆台的表示：

表示：圆柱、圆锥、圆台可以用表示它的旋转轴的字母来表示，如圆柱O1O、圆锥SO、圆台O1O．

问题7：请大家联系前面棱柱、棱锥、棱台的性质，思考圆柱、圆锥、圆台有哪些性质呢？

答案：（1）平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面都是圆；

      （2）过圆柱、圆锥、圆台旋转轴的截面分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形.

设计意图：通过球体这个常见又容易理解的几何体引出旋转体的概念，并由于前面棱柱、棱锥、棱台的学习，这里快速引出圆柱、圆锥、圆台及其相关概念．

三、应用举例

例1 根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称:

（1）由6个平行四边形围成的几何体;

（2）由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形;

（3）由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余三个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．

分析：根据棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征进行判断．

解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱（或平行六面体）;

(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底,其余的三角形面是侧面;

(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．

例2  一个正四棱台的高是17 cm,上、下底面边长分别为4 cm和16 cm.求这个棱台的侧棱长和斜高．

解：如图所示,设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E,

连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE,

则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形

∵A1B1=4 cm，AB=16 cm,

∴O1E1=2 cm，OE=8 cm,

O1B1= cm，OB= cm，

∴B1B2=O1O2+(OB-O1B1)2=361 cm 2

E1E2=O1O2+(OE-O1E1)2=325 cm 2

∴B1B=19 cm ，E1E=5 cm

∴这个棱台的侧棱长为19 cm,斜高为5 cm.

设计意图：通过例题，熟悉基本立体图形的相关特征和性质，并熟悉利用相关性质进行应用．

方法总结：画图是解决空间几何问题的有效手段，问题能否解决，往往取决于图能够清晰明确的画出来．

四、课堂练习

1．下列说法中正确的是（    ）

A.斜棱柱的侧面中可能有矩形

B.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥

C.直角三角形绕它的一条边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

D.棱台各侧棱的延长线不一定交于一点

2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AD=b，AA1=c，则AC1=          .

3.若将图中的平面图形旋转一周，试说出它形成的几何体的结构特征．

参考答案：

1．A.斜棱柱的侧面中也可以有矩形,所以A正确;

B.有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面围成的几何体叫做棱锥,所以B错误;

C.直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，所以C错误；

D.棱台是用平行于底面的平面截棱锥所得的几何体，它的侧棱延长后交于一点，所以D错误.

故选：A．

2.由勾股定理可得，

     故答案为.

3.将图中的平面图形旋转一周，形成的几何体是圆锥、圆台和圆柱的组合体，并且圆锥底面与圆台的下底面重合，圆柱的上底面和圆台的上底面重合． 

五、课堂小结

1.点、线、面是构成空间几何体的基本要素．

2.常见基本立体图形有多面体和旋转体．其中

  常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台；

  常见的旋转体有球、圆柱、圆锥、圆台．

六、布置作业

教材第198页练习第2，3题．