北师大版 (2019)1 建筑物高度的测量教案设计

第三章 数学建模活动（二）

3.1建筑物高度的测量

1．运用所学知识解决实际测量的高度问题，掌握数学建模活动的完整过程．

2．通过数学建模活动，培养数学知识应用能力和创新意识，提升数学建模核心素养．

重点：

1．能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题．

2．了解数学建模的基本过程．

难点：能够利用或建立解三角形模型解决关于高度测量的实际问题．

一、导入新课

1．发现问题，提出问题

问题1：在测量工作中，经常会遇到不方便直接测量的情形．例如，如图故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不便到达，所以不能直接测量．

假设给你米尺和测量角度的工具，你能在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度吗？如果能，写出你的方案，并给出有关的计算方法；如果不能，说明理由．

师生活动：学生思考，找出解决问题的方法．

设计意图：培养学生提出问题．

二、新知探究

2．分析问题、建立模型

问题2：图中角楼的高度问题可以转化为用米尺与测量角度的仪器，怎样得到不便到达的两点之间的距离？

师生活动：学生思考，教师完善．

预设的答案：利用正、余弦定理解三角形问题．

设计意图：培养学生分析解决问题．

追问1：测量底部不能到达的建筑物的高度时，往往需要在经过建筑物底部的水平面内引一条基线．当基线CD与建筑物AB在同一铅垂面内时，如图所示，需要测量哪些数据？

如何计算该建筑物的高度？

师生活动：学生思考，找出解决问题的方法．

预设的答案：测量出基线CD的长及在C，D处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，

在Rt△ABD中，BD＝，

在Rt△ABC中，BC＝，

所以a＝CD＝BC－BD＝‒，

故AB．

方法总结：解三角应用题的一般步骤．

①准确理解题意，分清已知和所求，尤其要理解应用题中的名词和术语；

②画出示意图，并在图形中标注出已知条件；

③若已知量与未知量涉及多个三角形，则需要利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形作答．

设计意图：培养学生分析解决问题．

追问2：当基线CD与建筑物AB不在同一铅垂面内时，如图所示，需要测量哪些数据

如何计算该建筑物的高度？

师生活动：学生思考，找出解决问题的方法．

预设的答案：测量出基线CD的长及在C处建筑物AB顶部点A的仰角的度数，在△BCD内，测量出∠BCD与∠BDC的度数．

在△BCD中，BC＝×sinD，

∵AB⊥BC，∴∠BAC＝－∠ACB，

∴在△ABC中，AB＝×sin∠ACB＝×sin∠ACB，

∴AB＝＝．

方法总结：测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义.它是将实际问题转化为数学问题的关键.

设计意图：培养学生分析解决问题．

3．确定参数、计算求解

如图（1）所示，设线段AB表示不便到达的两点之间的距离，在能到达的地方选定位置C进行测量．用测量角度的仪器可以测量出∠ACB的大小α，但是因为点A，B都不便到达，所以△ABC的3条边都无法用米尺测量．

如图（2）所示，在可到达的地方再选定一点D，并使得CD的长m能用米尺测量．

用测量角度的仪器测出∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ACD＝θ，∠ADC＝φ；

然后利用α，β，γ，θ，φ以及m即可求出AB的长．

首先，在△BCD中，因为∠CBD＝π－β－γ，

所以由正弦定理可得＝，因此BC＝；

同理，从△ACD可得AC＝；

最后，在△ABC中，根据AC，BC，α，利用余弦定理就可以得出AB的长．

设计意图：培养学生建立模型，解决问题．

4．验证结果、改进模型

以上给出一个测量小组的测量结果，与其他测量小组的比较，分析产生误差的原因，改进测量方法，使测量误差更小．

设计意图：培养学生分析模型，选出最优模型解决问题．

三、课堂练习

1．如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法．

设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法．

2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，求电视塔的高度．

设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法．

3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图所示)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．

请设计一个方案：包括：

①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；

②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．

设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法．

4．某人在塔的正东方沿着南偏西60°的方向前进40m以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．

设计意图：通过习题的演练，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法．

【参考答案】

1．解；选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．

由在G，H两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高是h．

在△ACD中，由正弦定理可得AC=，AB=AE+h=ACsinα+h=+h．

故该建筑物高度为＋h．

2．解：由题意画出示意图，设高AB=h．

在Rt△ABC中，由已知BC=h，

在Rt△ABD中，由已知BD=h，

在△BCD中，由余弦定理可得，BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD，

即3h2=h2+5002+500h，则h=500．

故电视塔的高度为500m．

3．解：方案1：

①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d（如图所示）．

②文字说明及步骤：

第一步：计算AM，由正弦定理得，AM＝；

第二步：计算AN，由正弦定理得，AN＝；

第三步：计算MN，由余弦定理得，MN=．

方案2：

①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B的距离d（如图所示）．

②文字说明及步骤：

第一步：计算BM，由正弦定理得，BM＝；

第二步：计算BN，由正弦定理得，BN＝；

第三步：计算MN，由余弦定理得，MN＝．

4．解：在△BCD中，CD＝40m，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠DBC＝45°＋90°＝135°．

由正弦定理得＝，

故BD＝＝＝20(m)．

在Rt△ABE中，tan∠AEB＝，AB为定值，故要使∠AEB最大，需要BE最小，

即BE⊥CD，这时∠AEB＝30°．

在△BCD中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°，

故BE＝BDsin∠BDE＝20sin15°＝10(－1)(m)．

在Rt△ABE中，AB＝BEtan∠AEB＝10(－1)tan30°＝(3－)(m)．

故塔的高度为(3－)m．

四、归纳小结

问题5：本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结．

（1）正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤？

（2）测量高度时应注意的什么？

师生活动：学生尝试总结，老师适当补充．

预设答案：

（1）①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．

（2）测量高度时，要准确理解仰角、俯角的数学含义．它是将实际问题转化为数学问题的关键．

设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确测量建筑物高度的方法．

布置作业：教科书P134页习题3-1第1、2题．