高中数学4.2 平面向量及运算的坐标表示教案设计

第二章  平面向量及其应用

2.4平面向量基本定理及坐标表示

第二课时  平面向量及运算的坐标表示

1．借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．

2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．

3．能用坐标表示平面向量共线的条件．

重点：平面向量的坐标表示和运算．

难点：平面向量线性运算和坐标表示下的共线关系表达．

一、新课导入

问题1：回顾上节课的内容，说说平面向量基本定理的内容是什么？

答案：如果是同一平面内两个不共线向量，那么对于该平面内的任意一个向量a，存在唯一的一对实数1 2，使1+2 ，我们把不共线的向量 ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基，记为｛ ，｝．

追问1：标准正交基的定义是什么？

答案：若基中的两个向量为互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．（如图所示）

二、新知探究

问题2：平面向量能不能像平面直角坐标系中的点一样用坐标来表示？

答案：能．如图所示：

对于坐标平面内的任意非零向量a均可通过平移至以坐标原点O为起点作，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使．

因此，．我们把(x，y)称为向量a在标准正交基下的坐标．向量a可以表示为a=(x，y)．

显然，i=(1，0)，j=(0，1) ．

追问：点的坐标与向量坐标有何区别？

（1）向量a=(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．

（2）平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．

（3）在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).

问题3：平面内的向量可以用坐标表示，那么平面向量的运算可以用坐标来表示吗？

追问1：向量的加减法可否用坐标进行运算？

答案：可以．可以按照以下步骤进行推导：

第1步：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a= x1i+ y1j，b= x2i+ y2j．

第2步：根据向量的加法运算律，

可得 a+b=（x1i+ y1j）+（x2i+ y2j）=（x1+ x2）i+（y1+ y2）j，

即   a+b=（x1+x2，y1+y2）．

同理 a-b=（x1- x2，y1- y2）．

追问2：向量的数乘运算可以用坐标表示吗？设，如何用坐标表示？

答案：，

即    ，) ．

追问3：给出平面向量的起点和终点坐标，怎样求向量的坐标？试着利用向量运算的坐标表示进行推导．

答案：如图所示，设点A (x1，y1)，B(x2，y2)，则

．

即．

问题4：两平面向量的平行能否用坐标表示？

答案：能．推导步骤如下：

第1步：根据已学知识可知，在平面直角坐标系中，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，b．若a∥b，则存在实数，使得a；

第2步：由向量共线定理，可知

+（+）．

于是

消去，得．

这就是说，向量ab（b）共线的充要条件是．

想一想：前面的四个问题推导出了什么结果？

（1）回顾上节课的内容，平面向量基本定理是什么？

（2）向量能不能像平面坐标系中点一样给出坐标表示？

　　利用平面直角坐标系，通过建立标准正交基，可以实现平面向量的坐标表示．

（3）平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？

（4）平面向量平行能否用坐标表示？

平面内两个向量和、差、数乘及共线都拥有自己的坐标运算法则．

总结：通过这四个问题的探究，可以发现平面内任意向量都能与有序实数对一一对应，同时向量的坐标运算符合实数的运算规律，我们可以利用它求点的坐标，判断向量共线等问题，从而实现形与数的统一．

设计意图：承接上一节所学的内容，借助平面直角在坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，进而推导出坐标表示平面向量的和差与数乘的运算法则，以及坐标表示平面向量共线的条件．

平面向量坐标表示和坐标运算的概括：

（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量对应坐标的和与差；

（2）实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积；

（3）一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标；

（4）向量ab（b）共线的充要条件是．

【概念巩固】

思考:判断正误并说明理由？

（1）向量与向量的坐标相同．（  ）

（2）两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．（  ）

（3）两向量差的坐标与两向量的顺序无关．（  ）

（4）向量（2，4）与向量（-4，-6）反向．（  ）

（5）若a∥b，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则必有．（  ）

分析：判断上述问题的正误需要  熟练掌握和运用平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则，

熟知坐标表示平面向量共线的条件．

答案: （1）错误，向量的坐标为点B的坐标减去点A的坐标，向量的坐标为点A的坐标减去点B的坐标；

（2）错误，对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样；

（3）错误；根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关；

（4）正确，因为（-4，-6）=-2（2，4），所以两个向量相反；

（5）错误，因为若向量b等与零向量，则不成立．

问题5：你能用向量的坐标运算来推导出给定线段的中点坐标吗?

答案:能．分步如下：

第1步：如图建立直角坐标系，设A (x1，y1)，B(x2，y2)， M是线段AB的中点．

第2步：，，由向量的线性运算可知，

第3步：所以中点M的坐标是．

可以得出，若点A (x1，y1)，B(x2，y2)， M是线段AB的中点坐标（x，y），则

     此公式为线段AB的中点坐标公式．

三、应用举例

例1. 在平面内，以点O的正东方向为x轴的正向，正北方向为y轴的正向建立平面直角坐标系．质点在平面内作直线运动，先画出下列位移向量在基下的正交分解，再求出下列位移向量的坐标：

（1）向量a表示沿东北方向移动了2个单位长度；

（2）向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个单位长度；

（3）向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个单位长度．

分析：作图画出向量a，b，c，作出以上向量在基下的正交分解，再求坐标．

解：第1步：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，c=(x3，y3) ，如图作出以上向量在基下的正交分解；

第2步：

，

；

，；

，．

第3步：因此，，．

例2. 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标．

分析：运用平面向量和、差、数乘的坐标运算法则直接计算．

解：a+b=(2，1)+ (-3，4)= (-1，5)，

    a -b=(2，1) - (-3，4)= (5，-3)，

    3a+4b=3(2，1)+4(-3，4)= (6，3)+ (-12，16)= (-6，19)．

例3. 已知点A(1，0)，B(0，2)，C(-1，-2)，用向量的方法求的顶点D的坐标．

分析：先做图，设点并写出向量坐标，根据图中向量的关系用坐标运算进行表达．

解：第1步：设点D的坐标为(x，y)，做图如下，

第2步：由，得

(0，2) - (1，0)= (-1，-2) - (x，y)，

即(-1，2) =(-1- x，-2- y)，

所以，   解得

第3步：所以点D的坐标为(0，-4)．

例4. 已知点A(2，-4)，B(-1，3)，C(3，4)，且,求点M的坐标．

分析：根据一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标，用坐标表示出已知向量，设未知点，再运用平面向量的坐标表示、和差数乘运算法则计算出未知量．

解：第1步：根据题意，得= (2-3，-4-4) = (-1，-8)，= (-1-3，3-4) = (-4，-1)．

                  于是=2 (-1，-8) + 3(-4，-1)

= (-2，-16) + (-12，-3) = (-14，-19)

    第2步：设点M的坐标为(x，y)，则=(x-3，y-4)．

因此，    解得

所以点M的坐标为(，)．

例5. 已知O是坐标原点，= (k，12)，= (4，5)，= (10，k)．当k为何值时，A，B，C三点共线？

分析：要使A，B，C三点共线，只需，共线，运用坐标表示的平面向量共线公式即可．

解：第1步：依题意，得=(4，5) - (k，12)= (4-k，-7)．

                     =(10，k) - (4，5) = (6，k-5)．

    第2步：根据向量平行的坐标表示，得

(4-k) ( k-5)-6-7)=0．

    解得k=-2或k=11．

所以当k=-2或k=11时，A，B，C三点共线．

设计意图：通过例题，实践操作，学会运用向量的坐标表示和坐标运算，也让学生体会到数形结合的思想方法解决问题的能力的重要性．

方法总结：向量的坐标表示的理解及运算的准确性．

四、课堂练习

1．已知向量a=(2，6)，b=(-1，)，若a∥b，则= (   ) ．

A. 3                             B. -3

C.                             D.

2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(-1，-2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为 (   ) ．

A. (2，)                        B. (2，)

C. (3，2)                         D. (1，3)

3．已知O(0，0)，A(-1，3)，B(2，-4)，,若点P在y轴上，则实数m的值为(   )．

A.                              B.

C.                              D.

4．如图所示，已知线段OA的长度为2，与x轴正半轴所成夹角为30°，OB的长度为2，与x轴负半轴所成夹角为60°，C是AB的中点，则的坐标是 (   )．

A.                B.

C.                D.

参考答案：

1．2=-6．故选B．

2．设点D(m，n)．由题意得(4，3)=2(m，n-2)= (2m，2n-4)，

故，解得，即点D(2，)，故选A．

3．由题意可得，，所以，又点P在y轴上，所以，得，故选A．

4．由题意知，，，故A的坐标为 (，1)；同理，，故B的坐标为 (，)，根据中点坐标公式可得C的坐标为，故选C．

五、课堂小结

1.向量的坐标表示是向量的另一种表示形式，也可以称之为向量的代数表示，其背景是平面向量基本定理；

2.向量的坐标表示为我们进行向量的运算提供了方便；

3.向量的坐标表示使得我们借助数的运算对图形的几何性质展开研究，体现了数形结合思想方法的应用．

六、布置作业

教材第99页练习第2，3，5题．