高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 频率分布直方图教学设计

《频率分布直方图》教学设计

1.通过实例进一步体会分布的意义与作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图，体会它们的特点．

2.学习整理、分析数据，提取信息，将实际问题数据化，培养学生的分析、解决问题的能力.

3.在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的思想，会用祥本的频率分布估计总体分布，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，体会统计思维与确定性思维的差异．

重点：会识画频率分布表、频率分布直方图、频率折线图，能够从频率分布直方图中提取需要的数据信息.

难点：体会、理解用样本估计总体的思想，识画统计图．

一、新课导入

情境：为了解本市居民的生活成本，同学甲利用假期对所在社区进行“家庭数”和“家庭每月日常消费额”的调查.他把调查得到的消费额按大小进行分组，并计算出每组数据在整个数据中占的百分比——频率，结果如表.

思考：为什么调查结果给出的是频率表，而不是频数表？相对于频数表，频率表有什么好处？

答：频率与总体关系密切，反映了相对总数而言的相对强度，其所携带的总体信息远超过频数.

二、新知探究

问题１：整理数据得工作通常是需要图示的，常见的统计图有哪些？它们的功能适合表示什么？

答：直方图、折线图、扇形图.直方图适合表示大小，折线图适合表示趋势，扇形图适合表示比例.

追问:直观地表示频率，想到直方图，而扇形图是圆内面积占比来表示比例的.但我们想在平面直角坐标系中直观的表示这个比例该怎么办呢？

答：那就需要在平面直角坐标系中用面积表示频率.选用矩形面积去表示，将矩形横向宽度就是每组数据所在区间宽度，那么自然纵向就是频率与组距的比值.

问题2：将情境中的数据，按照上面方法制图，并总结这种图有哪些优点呢？

答：

图中每个小矩形的底边长是该组的组距，每个小矩形的高是该组的频率与组距的比，从而每个小矩形的面积等于该组的频率，即每个小矩形的面积=组距×.我们把这样的图叫作频率分布直方图.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.

频率分布直方图的好处在于：能清楚直观地显示各组频率分布情况及各组频率之间的差别；当考虑数据落在若干个组内的频率之和时，可以用相应矩形面积之和来表示.

问题２：前面，我们根据频率表，画出了频率分布直方图，那么如何根据样本数据画出频率分布直方图呢？

答：实际上，我们如果能得到频率分布表，频率分布直方图按照上面的方法即可.

一般来讲我们分为五步：（1）求极差；（2）决定组距和组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图.

实例分析.

1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665年─1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度，数据如下（单位：mm）：

146  141  139  140  145  141  142  131  142  140  144  140

138  139  147  139  141  137  141  132  140  140  141  143

134  146  134  142  133  149  140  140  143  143  149  136

141  143  143  141  138  136  138  144  136  145  143  137

142  146  140  148  140  140  139  139  144  138  146  153

148  152  143  140  141  145  148  139  136  141  140  139

158  135  132  148  142  145  145  121  129  143  148  138

149  146  141  142  144  137  153  148  144  138  150  148

138  145  145  142  143  143  148  141  145  141

请你估计在1665年─1666年，英国男性头盖骨宽度的分布情况.

总体是1665年─1666年的英国男性头盖骨的宽度，我们要通过上面挖掘出土得到的样本信息，来估计总体的分布情况.因为总体分布是指总体中每类（组）个体所占的比例（百分比），所以我们需要将样本中每类（组）个体所占的比例整理、表达出来.

首先将数据排序，得到宽度的最大值是158mm，最小值是121mm.

为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，得到总体分布信息，我们按照如下步骤处理数据.

（1）          计算极差：158-121=37mm.

这说明样本观测数据的变化范围是37mm.

（2）          确定组距与组数：若取所有的组距为5mm，则组距8，即可以将数据分为8组，这说明这个组距是比较合适的.

合适的组距和组数对发现数据分布规律有重要意义.组数过少会将很多分布的信息丢失；组数过多则可能会出现很多空档，无法反映实际的分布．当数据在120个以内时，通常按照数据的多少分成5组~12组.在实际操作中，一般要求各组的组距相等.分组时，可以先确定组距，也可以先确定组数．

（3）          分组：所以本例中的106个数据可按如下方式分为8组：

由于组距为5mm，8个组距的总长度超过极差，因此可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值，最后一组的右端点略大于数据中的最大值.

（4）列表：统计各组的信息

（5）画频率分布直方图：

思考：前面我们学习过平均数、众数、中位数，在频率分布直方图中，这些数据如何体现？

    答：在频率分布直方图中，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和；中位数的估计值，应使其左右两边的直方图面积相等；最高小矩形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．

探究：对于某一个总体来说，频率分布表中的数字及频率分布直方图的形状是否唯一确定？当样本确定以后，频率分布表中的数字及频率分布直方图的形状是否就确定了？如果是变化的，这个变化与什么有关？当样本容量逐渐增大时，直方图的分布有无规律可循？

    答：由于样本的随机性，频率分布表中的数字及频率分布直方图的形状都会随着样本的改变而改变；样本确定后频率分布表中的数字和频率分布直方图的形状都与分组数有关，频率分布直方图的形状还与平面直角坐标系的单位长度选取有关．频率分布是有规律的，若固定分组数，随着样本容量的增加，频率分布表中的各个频率会稳定在相应分组的某个数值上.

　　频率折线图

在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加上一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到频率折线图.

想一想：频率折线图能否大致反映总体的情况？如果不断增大样本容量，分组数也随之增多，频率折线图会有怎样的变化？

答：一般地，样本容量越大，用样本的频率分布去估计总体的分布就越精确.随着样本容量的增大，所划分的区间数也可以随之增多，而每个区间的长度则会相应随之减小，相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线.

三、应用举例

例1：某中学为了了解九年级学生中女生的身高(单位：cm)情况，对部分九年级女生的身高进行了一次测量，所得数据整理后列出的频率分布表如下：

(1)求表中m，n，M，N的值；

(2)画出频率分布直方图．

解：(1)方法一　n＝1－(0.02＋0.08＋0.40＋0.30＋0.16)＝0.04，N＝1，＝，

∴m＝2，M＝1＋4＋20＋15＋8＋2＝50.

方法二　M＝＝50，m＝50－(1＋4＋20＋15＋8)＝2，N＝1，n＝＝＝0.04.

(2)频率分布直方图如图所示．

例2：如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5,21.5)，[21.5，22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．

解：样本中平均气温低于22.5 ℃的城市的频率为0.10×1＋0.12×1＝0.22，样本中的城市总个数为11÷0.22＝50，样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市的频率为0.18×1＝0.18，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为50×0.18＝9.

方法归纳

解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法

由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：

(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；

(2)各小长方形的面积之和等于1；

(3)＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数．

四、课堂练习

1．如图是60名学生参加数学竞赛的成绩(均为整数)的频率分布直方图，估计这次数学竞赛的及格率是(　　)

A．75%  B．25%

C．15%  D．40%

2.从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图所示)，由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．

参考答案:

1.  75%.

解析：大于或等于60分的共四组，它们是[59.5，69.5)，[69.5,79.5)，[79.5,89.5)，[89.5,99.5]，

故样本中60分及以上的频率为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75.由此可估计这次数学竞赛的及格率为75%.

2.  0.030；3.

解析：因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由图可知身高在[120,150]内的学生人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140,150]内的学生人数为10，所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为×10＝3.

五、课堂小结

1.本节我们学习了频率分布直方图，对于给定的样本，画频率分布直方图的步骤是：（1）求极差；（2）决定组距和组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）绘制频率分布直方图．

2.在频率分布直方图中，横轴表示样本数据和分组情况；纵轴表示频率与组距的比；数据落在各小组内的频率用小矩形的面积表示，所有小矩形面积的总和等于1.平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和;中位数的估计值，应使其左右两边的直方图面积相等；最高小矩形的中点所对应的数据值即为这组数据的众数．

3.在频率分布直方图中，按照分组原则，再在左边和右边各加上一个区间.从所加的左边区间的中点开始，用线段依次连接各个矩形的顶端中点，直至右边所加区间的中点，就可以得到频率折线图.如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，频率折线图就越来越接近于一条光滑曲线.

4.通过提取频率分布直方图、频率折线图中的数据，我们可以对总体相应的数据进行估计.由于提取样本的随机性，这种估计可能会有偏差．频率分布一般随着样本容量的增大而更加接近于总体分布．

六、布置作业

教材第164页，练习第1题．教材第165页,习题6—3A组第1题.