北师大版 (2019)必修 第一册3.2 频率分布直方图学案

6.3.2频率分布直方图

【教学目标】

重点、难点

重点：学会用频率分布表，画频率分布直方图表示样本数据

难点：能通过频率分布表或频率分布直方图对数据做出总体统计．

学科素养

使学生能对数据进行分析、整理、熟练地列出频数分布表和频数分布直方图。

培养学生科学的数学思想和治学态度.

【知识清单】

一、频率分布表与频率分布直方图

1.基本概念

(3)画频率分布直方图的一般步骤为:

第一步,求极差.

第二步,确定组距和组数.为了方便起见,组距的选择应力求“取整”,极差、组距、组数有如下关系:

([x]表示不大于x的最大整数)

第三步,分组.通常对组内数值所在区间取左闭右开区间,最后一组取闭区间.

第四步,列频率分布表.统计各组数据的频数,计算频率,填入表格中,完成频率分布表.

第五步,依据频率分布表画频率分布直方图.画图时,以横轴表示样本数据,纵轴(小长方形的高)表示频率与组距的比值.

【经典例题】

题型一　频率分布概念的理解

例1　一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下：

则样本数据落在[10,40)上的频率为(　　)

A．0.13   B．0.39

C．0.52   D．0.64

题型二　频率分布直方图的绘制

例2　一个农技站为了考察某种大麦穗生长的分布情况，在一块试验田里抽取了100株麦穗，量得长度如下(单位：cm)：

6．5　6.4　6.7　5.8　5.9　5.9　5.2　4.0　5.4　4.6

5．8　5.5　6.0　6.5　5.1　6.5　5.3　5.9　5.5　5.8

6．2　5.4　5.0　5.0　6.8　6.0　5.0　5.7　6.0　5.5

6．8　6.0　6.3　5.5　5.0　6.3　5.2　6.0　7.0　6.4

6．4　5.8　5.9　5.7　6.8　6.6　6.0　6.4　5.7　7.4

6．0　5.4　6.5　6.0　6.8　5.8　6.3　6.0　6.3　5.6

5．3　6.4　5.7　6.7　6.2　5.6　6.0　6.7　6.7　6.0

5．6　6.2　6.1　5.3　6.2　6.8　6.6　4.7　5.7　5.7

5．8　5.3　7.0　6.0　6.0　5.9　5.4　6.0　5.2　6.0

6．3　5.7　6.8　6.1　4.5　5.6　6.3　6.0　5.8　6.3

根据上面的数据列出频率分布表，绘制出频率分布直方图，并估计在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗所占的百分比．

【课堂达标】

1．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如下图，数据的分组依次为，，，.若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

2．港珠澳大桥位于中国广东省珠江口伶仃洋海域内，是中国境内一项连接香港、珠海和澳门的桥隊工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度和顶尖的建造技术而闻名世.2018年10月24日上午9时开通运营后香港到澳门之间4个小时的陆路车程极大缩矩．为了解实际通行所需时间，随机抽取了n台车辆进行统计，结果显示这些车辆的通行时间（单位：分钟）都在[35，50）内，按通行时间分为[35，38），[38，41），[41，44），[44，47），[47，50]五组，其中通行时间在[38，47）的车辆有182台，频率分布直方图如图所示，则n＝（    ）

A．280 B．260 C．250 D．200

3．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（    ）

A．176 B．120 C．140 D．24

4．如图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上(含60分)为考试合格，则这次考试的合格率为（    ）

A．0.02 B．0.035 C．0.4 D．0.7

5．某班全体学生某次测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：，，，．若不低于80分的人数是15，则该班的学生人数是（    ）

A．40 B．45 C．50 D．60

6．已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有（    ）辆

A．60 B．80 C．40 D．100

7．某网站从春节期间参与收发网络红包的手机用户中随机抽取10000名进行调查，将受访用户按年龄分成5组：，，…，，并整理得到如图频率分布直方图.其中的值为（    ）

A．0.025 B．0.035 C．0.036 D．0.038

8．学校为了调查学生在课外读物方面的支出（单位：元）情况，抽取了一个容量为的样本，并将得到的数据分成，，，四组，绘制成如图所示的频率分布直方图，其中支出在的同学有24人，则（    ）

A．80 B．60 C．100 D．50

9．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（   ）

A．588 B．480 C．450 D．120

10．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示： 若某高校专业对视力的要求在以上，则该班学生中能报A专业的人数为 

A． B．

C． D．

11．小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（　　）

A．1% B．2% C．3% D．5%

12．爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（    ）

A．他们健身后，体重在区间内的人数增加了4个

B．他们健身后，体重在区间内的人数没有改变

C．因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响

D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少

13．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（    ）

A．10 B．18 C．20 D．36

14．2019年是中华人民共和国成立70周年，党中央、中央军委决定组织首都天安门阅兵，这是国家重大纪念日阅兵的制度化安排．参加受阅的徒步方队队员应身体健康、体型协调、反应敏捷．通常男性士兵的身高普遍在175cm至185cm之间，女性士兵的身高在163cm至175cm之间．某连队现有男性士兵120人，则根据男性士兵的身高得到的频率分布直方图如图．若，，成等差数列，且，，则该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为（    ）

A．48 B．54 C．60 D．66

15．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，，，．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（    ）

A．45 B．50 C．55 D．60

16．从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知_____．若要从身高在三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在内的学生中选取的人数应为________｡

【能力提升】

17．某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，如图是根据实验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组中的人数为 _________．

18．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测，如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：）绘制的频率分布直方图，样本数据分为8组，分别为，，，，，，，，则样本的中位数在第______组 

19．将样本容量为100的数据分为[2，6）、[6，10）、[10，14）、[14，18）、[18，22]五个小组，得到频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[2，10）的频率_________.

三、解答题

20．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）

21．某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图）．已知上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．

（1）求直方图中x的值；

（2）如果上学所需时间在的学生可申请在学校住宿，请估计该校800名新生中有多少名学生可以申请住宿．

【参考答案】

【经典例题】

题型一　频率分布概念的理解

例1　由题意可知频数在[10,40)的有13＋24＋15＝52(个)，所以频率为 ＝0.52.故选C.

反思感悟　频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小．

题型二　频率分布直方图的绘制

例2　解　(1)计算极差：7.4－4.0＝3.4.

(2)决定组距与组数：

若取组距为0.3，因为 ≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组距为0.3，组数为12.

(3)决定分点：

使分点比数据多一位小数，并且把第1小组的起点稍微减小一点，那么所分的12个小组可以 是3.95～4.25,4.25～4.55,4.55～4.85，…，7.25～7.55.

(4)列频率分布表：

(5)绘制频率分布直方图如图．

从表中看到，样本数据落在5.75～6.35之间的频率是0.28＋0.13＝0.41，于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75～6.35 cm之间的麦穗约占41%.

反思感悟　绘制频率分布直方图的注意事项

(1)计算极差，需要找出这组数的最大值和最小值，当数据很多时，可选一个数当参照．

(2)将一批数据分组，目的是要描述数据分布规律，要根据数据多少来确定分组数目，一般来说，数据越多，分组越多．

(3)将数据分组，决定分点时，一般使分点比数据多一位小数，并且把第一组的起点稍微减小一点．

(4)列频率分布表时，可通过逐一判断各个数据落在哪个小组内，以“正”字确定各个小组内数据的个数．

(5)画频率分布直方图时，纵坐标表示频率与组距的比值，一定不能标成频率．

【课堂达标】

1．B

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图计算的频率，然后根据不低于60分的人数简单计算即可.

【详解】

由题可知：不低于60分的频率为：

又不低于60分的人数是35人，所以该班的学生人数是

故选：B

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查观察能力以及理解能力，属基础题.

2．D

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图可知通行时间在[38，47）的频率为，根据频率的概念即可求出结果.

【详解】

由题意可知，通行时间在[38，47）的频率为，所以，所以.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图和频率的概念，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

根据直方图确定自习时间不少于22.5小时的频率，再根据频率、频数、总数关系得结果.

【详解】

这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：

因此这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是

故选：C

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查基本分析求解能力，属基础题.

4．D

【解析】

【分析】

观察频率分布直方图，60分以上的小矩形面积的和即为所求.

【详解】

观察频率分布直方图可知这次考试的合格率为.

故选：D

【点睛】

本题考查频率分布直方图，属于基础题.

5．C

【解析】

【分析】

根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为，再根据高于分的人数是，即可求解学生的人数，得到答案．

【详解】

由题意，根据给定的频率分布直方图，可得在之间的频率为，

又由高于分的人数是，则该班的学生人数是人，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

6．B

【解析】

【分析】

由题意可知，样本容量为，再由频率分布直方图，求出时速在的频率，由此即可求出结果．

【详解】

由题意可知，样本容量为，

又因为数据落在区间的频率为，

所以时速在的汽车大约有辆.

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图，掌握频率分布直方图中频率=矩形高×组距，是解答此类问题的关键．

7．B

【解析】

【分析】

根据频率分布直方图，各组频率之和为1求解.

【详解】

由频率分布直方图知：，

解得

故选：B

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题.

8．A

【解析】

【分析】

先求得支出在的频率，然后求得的值.

【详解】

由频率分布直方图可得，支出在的频率为.

根据题意得，解得.

故选：A

【点睛】

本题考查频率分布直方图，考查数据处理能力.

9．B

【解析】

试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480

考点：频率分布直方图

10．D

【解析】

，故选D．

11．C

【解析】

【分析】

由图1知食品开支占总开支的30%，由图2知鸡蛋开支占食品开支的，由此求得鸡蛋开支占总开支的百分比．

【详解】

解：由图1所示，食品开支占总开支的30%，

由图2所示，鸡蛋开支占食品开支的，

∴鸡蛋开支占总开支的百分比为30%3%．

故选C．

12．C

【解析】

【分析】

根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.

【详解】

根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有人，健身后有，所以体重在区间内的人数增加了4个，所以A正确；

由健身前体重在的人数为人，健身后有，所以健身前后体重在的人数不变，所以B正确；

由健身前后体重再和的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；

由健身前体重在的人数为人，健身后为0人，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，所以D正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了统计图表的应用，其中解答中图表中的数据，分别计算求得健身前后各个区间的人数，进行比较是解答的关键，着重考查图表提取信息的能力，以及数据处理能力.

13．B

【解析】

【分析】

根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.

【详解】

根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，

则区间内零件的个数为：.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.

14．D

【解析】

【分析】

根据已知条件和概率的性质列式可解得，再用身高在175cm至185cm之间的概率乘以样本容量可得结果.

【详解】

依题意可得，解得，

所以男性士兵的身高在175cm至185cm之间的人数为人，

即该连队男性士兵的身高符合国庆阅兵标准的人数为66人.

故选：D.

【点睛】

本题考查了等差中项的应用，考查了概率的性质，考查了频率分布直方图的应用，属于基础题.

15．B

【解析】

【分析】

由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．

【详解】

解：因为频率分布直方图中小长方形面积等于频率，

所以低于60分的人数频率为，

所以该班的学生人数是．

故选B．

【点晴】

本题考查的知识点是频率分布直方图，结合已知中的频率分布直方图，结合频率=矩形的高×组距，求出满足条件的事件发生的频率是解答本题的关键．属于基础题.

16．0.030 , 3

【解析】

因为,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为人.

【能力提升】

17．

【解析】

【分析】

由频率以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出

总的人数，求出第三组的人数.

【详解】

由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分

别为0.24，0.16，设总的人数为n,则所以第3小组的人数

为人.

故答案为18

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图中频数、频率等的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平.

18．四

【解析】

【分析】

计算前几组的频率之和，判断频率为0.5在哪个区间即可判断中位数.

【详解】

根据频率分布直方图可知，前三组的频率之和为，

前四组的频率之和为，

则可以判断中位数在第四组.

故答案为：四.

【点睛】

本题考查根据频率分布直方图判断中位数所在区间，属于基础题.

19．

【解析】

【分析】

由已知得，可得答案.

【详解】

由已知得样本数据落在[2,10)内的频率.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查频率分布直方图的识别，计算在某区间的频率，属于基础题.

20．（1）第四组的频率为0.3，直方图见解析；（2）众数：75，中位数：，均分为71分

【解析】

【分析】

（1）由各组的频率和等于1求解第四组频率，再补全直方图即可

（2）利用最高的矩形得众数；利用左右面积相等求中位数；利用组中值估算抽样学生的平均分

【详解】

(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为.

补全的频率分布直方图如图所示．

(2)众数为：，

设中位数为x,则

抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分．

【点睛】

本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，属于中档题．

21．(1) ．(2) 96名

【解析】

【分析】

（1）由直方图中各个矩形的面积为1建立方程求．

（2）计算出新生上学所需时间在的频率，再乘上新生的总人数即可得到申请住宿的人数．

【详解】

解：（1）由直方图可得到．

所以．

（2）由直方图可知，新生上学所需时间在的频率为．

所以估计全校新生上学所需时间在的概率为0.12．

因为．

所以800名新生中估计有96名学生可以申请住宿．

【点睛】

本题考查频率分布直方图的理解与应用，理解直方图的意义是解答的关键．