高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 随机现象教学设计

第七章  概率

7.1 随机现象与随机事件

第2课时 随机事件

1.感受客观世界的不确定性，能用随机的观念认识并解释现实世界．

2.理解随机事件与样本点、样本空间的关系，会用样本点表示相应的随机事件．

重点：用样本点表示相应的随机事件．

难点：理解随机事件与样本点的关系．

一、情境导入

情境1：下列现象就其发生与否有什么共同特点？

（1）太阳从西边落下．

（2）向上抛出的石头会下落．

答案：以上现象，都是必然会发生的现象．

情境2：下列现象就其发生与否有什么共同特点？

（1）在没有水分的真空中种子发芽．

（2）在常温常压下钢铁融化．

答案：以上现象，都是不可能发生的现象．

情境3：下列现象就其发生与否有什么共同特点？

（1）抛掷一个骰子出现的点数为偶数．

（2）某城市一年里7月15日这一天最热．

答案：以上现象，可能发生也可能不发生，都是随机现象．

那么，如何从样本空间的角度看待上述现象呢？

设计意图：举出生活中常见的现象，让学生结合生活实际发它们发生与否的情况，并提出问题，引发学生思考，如何从数学的角度解释上述现象，便于学生从感性认识上升到理性认识．

二、新知探究

问题1：当进行试验时，人们不仅关心试验的所有结果，还常常关心满足某些特定要求的试验结果．如在试验“抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数”中，如何表示“出现偶数点”的情形呢？

答案：由前面的分析可知试验的样本空间为，所以当“掷出偶数点”时，意味着子集中的一个样本点发生；反之，若子集中的一个样本点出现，则意味着事件“掷出偶数点”发生．

因此，可以用子集表示事件“掷出偶数点”．

一般地，把试验的样本空间的子集称为的随机事件，简称事件，常用，，等表示．在每次试验中，当一个事件发生时，这个子集中的样本点必出现一个；反之，当这个子集中的一个样本点出现时，这个事件必然发生．并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．

追问：上述试验中包含几个基本事件？事件“掷出偶数点”中包含几个基本事件？

答案：试验的样本空间为，包含了个样本点，故有个基本事件．事件“掷出偶数点”可用集合表示，包含了个样本点，故有个基本事件．

问题2：上述试验中，如果记“出现的点数小于” 为事件，如何用集合表示事件？

答案：试验中，抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数，只有这种可能的结果．无论出现哪一种结果，点数都是小于的．所以事件．

追问1：表示事件的集合与试验的样本空间是什么关系？事件一定发生吗？

答案：，无论那个样本点出现，都表示事件发生，因此事件一定发生．

样本空间是其自身的子集，因此也是一个事件；又因为它包含所有的样本点，每次试验无论哪个样本点出现，都必然发生，因此称为必然事件．

追问2：如果记“出现的点数小于”为事件，表示事件的集合与试验的样本空间是什么关系？事件一定发生吗？

答案：易知，事件中不包含任何一个样本点，即，，事件一定不会发生．

空集也是的一个子集，可以看作一个事件；由于它不包含任何样本点，它在每次试验中都不会发生，故称为不可能事件．

设计意图：结合掷骰子的试验，让学生从样本空间的角度去理解随机事件、必然事件和不可能事件．

三、应用举例

例1: 试验：连续抛掷一枚硬币次，观察正面、反面出现的情况．设事件表示随机事件“第一次出现正面”，事件表示随机事件“次出现同一面”，事件表示随机事件“至少出现一次正面”，试用样本点表示事件，，．

解：由前面的分析可知，试验的所有可能结果共有种，下面用字母表示出现正面，字母表示出现反面，则试验的样本空间可以记为：．

因为事件表示随机事件“第一次出现正面”，所以满足要求的样本点共有个：

．

因此，事件，

事件表示随机事件“次出现同一面”，所以满足要求的样本点共有个：，

．因此，事件．

事件表示随机事件“至少出现一次正面”，所以满足要求的样本点共有个：．

因此，事件．

例2: 在试验“连续抛掷一枚骰子次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：

（1）事件；

（2）事件；

（3）事件．

解：由前面的分析可知试验的样本空间为：

；

（1）观察事件中所含的样本点可知，每个样本点中第二个数均为．因此，若事件中所含的样本点出现其中一个，则“第二次掷出的点数为”发生．同时，由样本空间可知，若“第二次掷出的点数为”发生，则事件中的样本点必出现其中一个．因此事件的含义为：连续抛掷一枚骰子次，第二次掷出的点数为．

（2）观察事件中所含的样本点可知，每个样本点中第二个数均比第一个数大．因此，若事件中所含的样本点出现其中一个，则“第二次掷出的点数比第一次的大”发生．同时，由样本空间可知，若“第二次掷出的点数比第一次的大”发生，则事件中的样本点必出现其中一个，因此事件的含义为：连续抛掷一枚骰子次，第二次掷出的点数比第一次的大．

（3）观察事件中所含的样本点可知，每个样本点中两个数的和均为．因此，若事件中所含的样本点出现其中一个，则“次掷出的点数之和为”发生．同时，由样本空间知，若“次掷出的点数之和为”发生，则事件中的样本点必出现其中一个．因此事件的含义为：连续抛掷一枚骰子次，次掷出的点数之和为．

设计意图：通过例题巩固用样本点表示随机事件，加深对随机事件含义的理解．

四、课堂练习

1.在件同类产品中，有件正品和件次品，从中任意抽出件．其中为必然事件的是（    ）

A.件都是正品

B.至少有件次品

C.件都是次品

D.至少有件正品

2.已知袋中有大小、形状完全相同的张红色、张蓝色卡片，从中任取张卡片，则下列判断不正确的是(    )

A. 事件“都是红色卡片”是随机事件

B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件

C. 事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件

D. 事件“有张红色卡片和张蓝色卡片”是随机事件

3.如图，电路中有，，，四个元件，每个元件可能正常，也可能失效，把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常．

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：“电路是通路”，“电路是断路”．

参考答案：

1.解：在件同类产品中，有件正品和件次品，从中任意抽出件，可能件都是正品，也可能有件正品和件次品，或者件正品和件次品．不论哪一种情况，都至少含有件正品．故选．

2.解：已知袋中有大小、形状完全相同的张红色、张蓝色卡片，从中任取张卡片，可能会出现以下几种情形：

张全是红色卡片；张红色卡片和张蓝色卡片；张红色卡片和张蓝色卡片；

故：事件“都是红色卡片”是随机事件，正确；事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，正确；事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，不正确；事件“有张红色卡片和张蓝色卡片”是随机事件，正确．

故选：．

3.解：(1)分别用，，，表示元件，，，的状态，则这个电路的工作状态可以用表示，进一步，用表示元件“正常”状态，用表示“失效”状态，
   则样本空间，，，，，，，，，，，，，，，．

(2) “电路是通路”⇔，，至少有一个且，至少有一个，

所以，，，，，，，，．

“电路是断路”等价于，，全为或，全为，

所以，，，，，，．

五、课堂小结

六、布置作业

教材第页练习第1~4题．