高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式课文课件ppt

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1.掌握基本不等式及推导过程.
2.能熟练运用基本不等式比较两实数的大小.
3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值.
从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！
基本不等式的证明与理解
问题1　如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，我们能得出什么样的结论呢？
问题3　上述不等式是否对所有的a≥0，b≥0都能成立？请给出证明.
提示　方法一　(作差法)
方法三　(利用几何意义证明)
1.如果a≥0，b≥0， ___ ，当且仅当_____时，等号成立.这个不等式称为基本不等式，其中 称为a，b的算术平均值， 称为a，b的___________.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为：两个非负实数的算术平均值___________它们的几何平均值.
(1)基本不等式成立的条件是a≥0，b≥0；当条件出现负数时，可以转化为正数，再用基本不等式求解.(2)不等式中的a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式.(3)a2＋b2≥2ab，a，b∈R也成立.(4)等号成立的条件：当且仅当a＝b时等号成立.
　　(多选)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，不成立的是
对∀a，b∈R，a2＋b2≥2ab，故A错误；当a<0，b<0时，选项B，C错误；
基本不等式及变形形式使用的条件(1)a2＋b2≥2ab，其中a，b∈R.
因为不等式成立的前提条件是各项均为非负数，又x－2y≠0，所以x－2y>0，即x>2y.
用基本不等式证明不等式
　　已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
∵a，b，c都是正实数，
即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.即证原不等式成立.
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之转化为能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换，另外，解题时要时刻注意等号能否取到.
因为x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，
又x，y，z为正数，由①×②×③，
∵x<0，∴－x>0.
∵x>1，故有x－1>0，
在利用基本不等式求最值时要注意三点(1)各项均为正.(2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧).(3)检验等号成立的条件是否具备.
　　　(1)已知x>0，y>0，xy＝9，则x＋3y的最小值为
(2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为A.80 B.77 C.81 D.82
当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2.方法归纳：配凑法、转化法.3.常见误区：使用基本不等式或基本不等式的变形形式时，要注意使用条件.
1.给出下列条件：①ab>0；②ab<0；③a>0，b>0；④a<0，b<0.
根据基本不等式的条件，a，b同号，则①③④符合要求.
A.1 B.2C.3 D.4
2.下列不等式正确的是
由题意知x>0，y>0，∴y>x.
5.下列各不等式中，对任意实数x都成立的是_____.(填序号)
①中，x＝1时不成立；②中，∵x2＋1≥1，
③中，x<0时不成立.
1.a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab|C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab|
∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立).
2.若0∵0a＋b，
又∵b>a>0，∴ab>a2，
4.若0∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2>2ab.
5.下列不等式一定成立且等号也能取到的是
A中x可能是负数，不成立；
D中x2－1也可能是负数，不成立.
因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立.
8.设a，b为非零实数，给出下列不等式：
由a2＋b2≥2ab，可知①正确；
当a＝1，b＝－1时，可知④不正确.
当且仅当a＝b＝1时取等号，∴a＋b≥2.
∵x<3，∴x－3<0，
11.已知a>0，b>0，且ab＝2，那么A.a＋b≥4 B.a＋b≤4C.a2＋b2≥4 D.a2＋b2≤4
a2＋b2≥2ab＝4，当且仅当a＝b时等号成立.
12.(多选)已知a，b均为正实数，则下列不等式不一定成立的是
15.设正实数a，b满足a＋b＝1，则
16.已知x>0，y>0，且x＋y＝8，证明：(1＋x)(1＋y)≤25.