北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式随堂练习题

基本不等式

[A级　基础巩固]

1．若0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是(　　)

A.　　　　　　　　　 B．a2＋b2

C．2ab  D．a

解析：选B　∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜.

a2＋b2＝(a＋b)2－2ab>(a＋b)2－2·＝.

a2＋b2－2ab＝(a－b)2>0，∴a2＋b2最大．

2．不等式a2＋≥4中，等号成立的条件是(　　)

A．a＝4  B．a＝

C．a＝－  D．a＝±

解析：选D　此不等式等号成立的条件为a2＝，即a＝±，故选D.

3．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么(　　)

A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一

C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一

解析：选A　∵a＋b≥2，∴ab≤＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．∵c＋d≥2，∴c＋d≥2＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．

4．(多选)设a＞0，b＞0，下列不等式恒成立的是(　　)

A．a2＋1＞a  B．≥4

C．(a＋b)≥4  D．a2＋9＞6a

解析：选ABC　由于a2＋1－a＝＋＞0，故A恒成立；由于＝ab＋＋＋≥2＋2＝4.当且仅当即a＝b＝1时，“＝”成立，故B恒成立；

由于(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4.当且仅当＝，即a＝b＝1时，“＝”成立，故C恒成立；当a＝3时，a2＋9＝6a，故D不恒成立．

5．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A．a＜v＜  B．v＝

C.＜v＜  D．v＝

解析：选A　设甲、乙两地的距离为s，

则v＝＝.

由于a＜b，∴＋＜，∴v＞a，

又＋＞2，∴v＜.

故a＜v＜，故选A.

6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．

解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0.

∴＝≥，

当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．

答案：≤

7．已知a，b是不相等的正数，x＝，y＝，则x，y的大小关系是________．

解析：x2＝，y2＝a＋b＝，

∵a＋b＞2(a≠b)，∴x2＜y2，∵x，y＞0，∴x＜y.

答案：x＜y

8．设a＞0，b＞0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：因为a＞0，b＞0，所以原不等式可化为k≥－(a＋b)，所以k≥－－2.

因为＋≥2(当且仅当a＝b时，等号成立)，

所以－－2≤－4，

所以k≥－4，即k的取值范围是[－4，＋∞)．

答案：[－4，＋∞)

9．已知a，b，c均为正实数，abc＝1，证明：＋＋≤＋＋.

解：因为＋＋＝≥×，

又abc＝1，所以＝c，＝b，＝a，所以＋＋≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

10．设a，b，c都是正数，试证明不等式：＋＋≥6.

证明：因为a>0，b>0，c>0，

所以＋≥2，＋≥2，＋≥2，

所以＋＋≥6，

当且仅当＝，＝，＝，

即a＝b＝c时，等号成立．

所以＋＋≥6.

[B级　综合运用]

11．下列不等式一定成立的是(　　)

A.＞(x＞0)  B．x＋≥2(x≠0)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)  D.＞1(x∈R)

解析：选C　选项A中，x2＋≥x，故选项A不正确；选项B中，x＋≥2(x＞0)，x＋≤－2(x＜0)，故选项B不正确；选项C中，x2－2|x|＋1＝(|x|－1)2≥0(x∈R)，故选项C正确；选项D中，x2＋1≥1，则0＜≤1，故选项D不正确．

12．是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1(x>0，y>0)且x＋y≥18？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由．

解：因为＋＝1，

所以x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，

又x＋y≥18，所以(＋)2＝18.

由得或

故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件．