初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程第1课时教案设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：先提出问题，学生思考后回答问.

问题1：方程的定义是什么？

    预设：含有未知数的等式是方程.

问题2：什么是一元一次方程？

预设：

 含有一个未知数，而且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.

思考：下列方程是一元一次方程吗？若不是，说一说是什么方程？

(1)  5x+3 = 8   (2)  x + y = 8

(3) (4)  x2+ 2x = 8

预设：(1)是一元一次方程(2)是二元一次方程，不是一元一次方程(3)是分式方程，不是一元一次方程.(4)不是，也不是我们所学的方程.

提问：它不是我们已学的方程，那它是什么方程呢？

思考回答

自行判断后说一说理由

通过复习回顾及相应的练习，引出新的问题，为本节课要学习的内容做准备.

环节二 探究新知

【合作探究】

教师活动：通过三个丰富的实例，引导学生列出方程，找到三个方程的共同特点，归纳概括出一元一次方程的概念.

问题1：下幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.你能求出这个宽度吗？

   预设：设所求的宽度为x m，那么地毯的长为(8-2x)m，宽为(5-2x)m，

根据题意，可得方程：

(8-2x)(5-2x)=18

问题2：观察下面等式：102＋112＋122 ＝132＋142，你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

预设：

如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：(x+1)，(x+2)

，(x+3)，(x+4).

根据题意，可得方程：

x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2

问题3：如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？

   预设：

由勾股定理得，滑动前梯子底端距墙6       m，设底端滑动x m，那么滑动后底端距墙(x+6)              m，根据题意，可得方程：

(8-1)2 + (x＋6)2  =102

【议一议】

教师活动：引导学生先将上述三个方程先整理化简，然后再找到共同点，由此归纳得出一元二次方程的概念，并给出一般形式.

由上面三个问题，我们可以得到三个方程：

(8-2x)(5-2x)=18，(8-1)2 + (x＋6)2  =102 ，

x2 + (x＋1)2 + (x＋2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2

思考：上述三个方程有什么共同特点？

预设：①将三个方程分别化简整理得：

2x2-13x+11=0

x2-8x-20=0

x2+12x-15=0

都可化为ax²+bx+c=0的形式

②等式两边都是整式，只有一个未知数，未知数的最高次数是2.

归纳：等号两边都是整式，只有一个未知数，未知数的最高次数是2，且都可以化成 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式.

追问：你能根据上述三个方程的共同点，给这样的方程下个定义吗？

【归纳】

一元二次方程的概念：

只含有一个未知数 x 的整式方程，并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

想一想：a为何不能为0，b，c可以为0吗？

预设：a为0，就不满足一元二次方程的概念，也就是方程不是一元二次方程，b，c为不为0，对它是否是一元二次方程不受影响.

【归纳】

一般形式：

我们把 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 称为一元二次方程的一般形式.

二次项：ax2  ，一次项：bx；常数项：c

二次项系数：a ，一次项系数：b.

   如：2x2-13x+11=0

2x2 是二次项，2是二次项系数；

-13x是一次项，-13是一次项系数；

11是常数项.

认真分析，尝试列出方程

认真分析，尝试列出方程

认真分析，尝试列出方程

先动手整理，再举手说一说

组内交流讨论.

思考回答问题

熟悉一元二次方程的一般形式

引导学生，分析三个实例的等量关系，设出对应的未知数，列出方程，为归纳总结一元二次方程的概念做准备.

引导学生根据已有的方程知识和经验，将上述三个方程进行化简，并整理成一般形式；然后让学生对整理后的方程进行观察与思考，用自己的语言描述它们的共同特点；最后再组织全班学生进行交流.

通过对所列三个方程共性的分析，抽象出一元二次方程的概念.

明确一元二次方程的一般形式.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例1将方程化成一元二次方程的一般形式，并指出各项系数．

提醒：

一元二次方程一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)

解：去括号，得

    3x2–3x=5x+10

移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2–8x–10=0.

二次项系数为 3，一次项系数为 –8，常数项为 –10．

追问：将一元二次方程化成一般形式的步骤是怎样的，需要注意什么？

预设答案：

化一般式的方法：

一去(去分母、去括号)

二移(移项)

三并(合并同类项)

友情提示：

(1)二次项系为负数时，一般要化为正数；

(2)写一般式时通常按未知数的次数从高到低排列；

(3)写系数时要带上前面的符号.

明确例题的做法

思考回答

让学生在探究过程中进一步加深对一元二次方程一般形式的理解，培养学生的应用意识.

归纳总结化一般式的步骤及注意事项.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.下列方程中，哪些是一元二次方程？

  (1)3x=0；    (2)x2+2x – 4=0；

(3)x2–=2   (4)3y2 – 4x=7；

(5)4x2=9；  (6)(x+2)2=(x – 1)2.

2.根据题意列出一元二次方程: 已知直角三角形的三边长 为三个连续的整数，求它的三边长.(只列方程)

3.把方程 (3x＋2)2 = 4(x–3)2 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项.

答案：

1. × √ × × √ ×

2.解：设最短直角边长为 x ，则另一直角边

长为(x+1)，斜边长为(x+2).依题意，可列方程

        x2 + ( x + 1 )2  = ( x + 2 )2 .

3.解:(3x＋2)2 = 4(x–3)2

         9x2+12x+4=4( x2–6x+9)

   去括号：9x2+12x+4=4x2–24x+36

    移项：9x2–4x2+12x+24x+4–36=0

合并同类项：5x2+36x–32＝0．

二次项系数为 5，一次项系数为 36，

常数项为–32．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第32页

习题2.1  第1、2题

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.