初中数学北师大版九年级上册第二章 一元二次方程2 用配方法求解一元二次方程第1课时教案

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：先提出问题，学生思考后回答.

问题1：4的平方根是±2，你还记得什么是平方根吗？

预设：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根.

问题2：平方根的意义是什么？

预设：

如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x =      

 思考：这两个数具有什么关系？

 预设：互为相反数

【情境引入】

在上一节的问题中，梯子的底端滑动的距离x(m)满足方程x2 +12 x - 15 = 0.你还记得x的近似值吗？

预设：近似值：1.1＜x＜1.2.

追问：你知道如何求x的精确值吗？

举手回答

思考回答

通过复习平方根的概念及意义，为本节课的学习做准备.

通过情境导入，提出问题，引出新课的学习.

环节二 探究新知

【议一议】

教师活动：通过三个问题串，引导学生从简单的问题着手，尝试去解一元二次方程，总结归纳出配方法的基本思路.

问题1：说一说你会解哪些特殊的一元二次方程？ 

(1)  x2=1       (2)  x2=0

预设：

(1) ∵(±1)²=1

 ∴根据平方根的意义，得x1=1, x2=-1.

 (2)∵0²=0

 ∴根据平方根的意义，得x1=x2=0.

问题2： 那你会解下列的方程吗，你是怎么做到的？ 

(1)  x2=5；        (2)  2x2+3=5；

(3)  x2+2x+1=5；  (4)  (x+6)2+72=102.

   预设：(1)∵()²=5，

       ∴根据平方根的意义,得

(2)2x2+3=5

移项，得  2x2 = 2

x2=1

∴根据平方根的意义，得

x1=1，x2=-1.

       (3) x2+2x+1=5

( x + 1)2 = 5     

类比 x2=5可得：

∴

(4) (x+6)2+72=102

         移项,得 (x+6)2 = 102 -72

         化简，得(x+6)2 = 51

         用(3)类似方法：

问题3： 你能解方程 x2 + 12x-15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个方程转化成上面的形式吗？与同伴进行交流.

教师活动：通过观察，学生会进行移项，移项后，发现还是不能解决，从而引发学生思考,需要进行配方，才能转化为问题1和2的类型.

预设：

x2 + 12x-15 = 0

移项，得x2 + 12x=15

两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62

即    ( x + 6 )2 = 51

两边开平方，得

追问：上述求解一元二次方程的思路是怎样的呢？

【归纳】

解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n (n≥0)的形式.

注意：左边是一个完全平方式，右边是个大于等于0的常数.

【做一做】

问题1：你还记得吗？填一填下列完全平方公式.

  (1)  a2+2ab+b2=(          )2；

(2)  a2-2ab+b2=(         )2.

预设：(1)a+b    (2)a-b

问题2：填上适当的数或式,使下列各等式成立.

x2 + 12x +_____ = (x+6)2

x2 - 4x +_____= (x - ___)2

 x2 + 8x +_____= (x+___)2

上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？

预设：62；22  2；42  4.

二次项系数为1的完全平方式中，常数项是一次项系数一半的平方.

追问：对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？

预设：

【思考】

怎样解方程: x2+6x+4=0?   

   预设：

  追问：为什么在方程 x2+6x=-4的两边加上9，而不是别的数呢？

   预设：要配成完全平方式，常数项是一次项系数的一半的平方，所以两边只能加上9.

【归纳】

像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法叫做配方法.

自由说一说

尝试解一解，并说一说

观察与思考

思考回答

填一填

自主完成，并举手回答

试着完成

试着完成

思考回答

通过一个开放性问题，引导学生尝试解最简单的一元二次方程.

通过几个既有联系又逐步递进的方程，让学生体会解题过程，逐步形成解方程的思路.

通过对问题(1)和(2)的思想方法进行迁移，求出方程的解，并学会如何转化，体会用配方法解一元二次方程的本质.

明确解一元二次方程的基本思路.

通过填一填回顾完全平方式.

用配方法解方程的首要任务是正确配出完全平方式，通过几个具体例子，引导学生明确左边常数项和一次项系数间的关系.

进一步巩固配完全平方式

通过解方程x2+6x+4=0，初步展示用配方法解二项式系数为1的一元二次方程的过程，并给出配方法的概念.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 解方程 x2 + 8x - 9 = 0 . 

分析：

①先把常数项移到右边：x2 + 8x =9 ;

②再两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2 + 8x+16=9+16；转化为  (x+4)2=25

③开平方得：x+4=±5，最后解两个一元一次方程，从而解出一元二次方程的解.

解：可以把常数项移到方程的右边,得

                   x2 + 8x= 9 ,

两边都加42(一次项系数8的一半的平方),得   x2 + 8x + 42 = 9 + 42 ,

 即  (x+4)2 = 25 .

两边开平方,得

    x + 4 = ± 5 ,

  即 x + 4 =5或 x + 4 = -5.

 所以  x1 = 1，x2=-9.

想一想：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？

预设：①移项  ②配完全平方式

③开平方 ④解一元一次方程

明确例题的做法

让学生在探究过程中进一步理解用配方法解一元二次方程的解的基本思路及步骤，培养学生的转化思想.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.解下列方程

(1) x2 -10x + 25 = 7；                     

(2)x2-14x = 8；

(3)x2 + 3x = 1；                                 (4)x2+2x+2 = 8x + 4.

2.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2. 道路的宽应为多少？

3.游行队伍有 8 行 12 列，后又增加了 69 人，使得队伍增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？

答案：

1.解: (1) 移项，得  x2 -10x =18 .

两边都加52，得   x2 -10x +52 = -18+52．

即        (x-5)2 = 7．

两边开平方，得

  ．

(2)两边都加72，得

      x2-14x + 72 = 8+72．

即     (x-7)2 = 57．

两边开平方，得  .

(3)两边都加( )2，得

       x2+3x + ( )2 = 1+ ()2 ．

即        (x +)2 =      ．

两边开平方，得   

(4)解:  移项，得  x2 -6x = 2．

两边都加32，得 x2 -6x+32 = 2+32．

即              (x -3)2 = 11．

两边开平方，得

2.解：设道路的宽为 x m．

          35×26＝850＋(26＋35)x－x2．

    整理得：x2－61x＋60＝0．

得 x1＝60(舍去)，x2＝1．

所以，道路的宽为 1 m．

3.解:设增加 x 行．

(8＋x)(12＋x)－8×12＝69．

x2＋20x－69＝0．

(x＋23)(x－3)＝0．

x1＝－23(舍去)，x2＝3．

所以，增加了 3 行或 3 列．

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置作业

教科书第37页

习题2.3  第1题

学生课后自主完成.

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.