初中数学北师大版九年级上册1 认识一元二次方程优质第2课时教案设计

第2课时 一元二次方程的根及近似解

【知识与技能】

会进行简单的一元二次方程的试解.

【过程与方法】

根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及其利用它们解决一些具体题目.

【情感态度】

理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力.

【教学重点】

判定一个数是否是方程的根.

【教学难点】

会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义.

一、情境导入，初步认识

学生活动：请同学独立完成下列问题.

问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米？

设梯子底端距墙为xm，那么，

根据题意，可得方程为x2+82=102.

整理，得x2-36=0.

列表：

问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？

设苗圃的宽为xm，则长为（x+2）m.

根据题意，得x（x+2）=120.

整理，得x2+2x-120=0.

列表：

【教学说明】通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围.

二、思考探究，获取新知

提问：（1）问题1中一元二次方程的解是多少？问题2中一元二次方程的解是多少？

（2）如果抛开实际问题，问题1中还有其它解吗？问题2呢？

老师点评：（1）问题1中x=6是x2-36=0的解；问题2中，x=10是x2+2x-120=0的解.

（2）如果抛开实际问题，问题1中还有x=-6的解；问题2中还有x=-12的解.

为了与以前所学的一元一次方程等只有一个解的情况区别，我们也称一元二次方程的解叫做一元二次方程的根.

回过头来看：x2-36=0有两个根，一个是6，另一个是-6，但-6不满足题意；同理，问题2中的x=-12的根也不满足题意.

【教学说明】由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解.

三、运用新知，深化理解

1.下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？

 -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4.

分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把它代入等式，看它是否能使等式两边相等即可.

解：将上面的这些数代入后，只有-2和-3满足方程的等式，所以x=-2或x=-3是一元二次方程2x2+10x+12=0的两根.

2.若x=1是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2014(a+b+c)的值.

分析:如果一个数是方程的根,那么把该数代入方程,一定能使左右两边相等,这一点同学们要深刻理解.

3.你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？

（1）x2-64=0（2）3x2-6=0

（3）x2-3x=0

分析：要求出方程的根，就是要求出满足等式的数，可用直接观察结合平方根的意义来求解.

4.x（x-1）=2的两根为（D）

A.x1=0，x2=1            B.x1=0，x2=-1

C.x1=1，x2=2            D.x1=-1，x2=2

5.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（B）

A.x1=b，x2=a            B.x1=b，x2=1/a

C.x1=a，x2=1/a           D.x1=a2，x2=b2

6.如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=  9 ，x2=  -9 .

7.如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值.

解：由已知，得a+b=-3，

原式=（a+b）2

=（-3）2

=9

8.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根.

解：由题意可知：

a+c=b，a-b+c=0，

把x=-1代入原方程，得

ax2+bx+c

=a×（-1）2+b×（-1）+c

=a-b+c

=0

∴-1必是该方程的一个根.

9.在一次数学课外活动中，小明给全班同学演示了一个有趣的变形，即在（）2-2×+1=0，令=y，则有y2-2y+1=0，根据上述变形数学思想（换元法）解决小明给出的问题：求（x2-1）2+（x2-1）=0的根.

解：设y=x2-1，则y2+y=0，y1=0，y2=-1，

当x2-1=0时，x1=1，x2=-1；

当x2-1=-1时，x3=x4=0.

∴x1=1，x2=-1，x3=x4=0是原方程的根.

【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题同各小组交流讨论得出结果.

四、师生互动，课堂小结

本节课应掌握：

1.一元二次方程根的概念；

2.一个数是否是一元二次方程的根的判断方法；

3.求一元二次方程的根的方法.

1.布置作业：教材“习题2.2”第1、2题.

2.完成练习册中相应练习.

本节课通过列表计算使学生了解一元二次方程的解，确定未知数的大致范围，从而会进行简单的一元二次方程的解的计算.