高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用优秀ppt课件

课程目标

学科素养

A. 掌握导数的四则运算法则，并能进行简单的应用．

B.能灵活运用导数的运算法则解决函数求导．

C.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．

1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则

2.逻辑推理：复合函数求导法则

3.数学运算：运用导数运算法则求函数的导数

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

我们知道，由基本初等函数经过加、减、乘、除等运算可以构造出新的函数，例如，由与相加可以得到新函数，

     那么,构造出新函数的导函数与原有函数的导函数之间是否有联系呢？这就是这一小节我们要讨论的问题。

探究1.设由，且，猜测 的关系，并尝试给出证明。

直觉上可以猜测得出

一般的如果与都可导，则

=+

即两个函数之和的导数，等于这两个函数的导数之和.

事实上，设,则

==

==+

所以

而=+

类似地，如果都可导，则=

即两个函数之差的导数，等于这两个函数的导数之差.

探究2：  如果都可导，你认为 的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想。

        一般来说，

例如，当时，因此

即

事实上，可以证明，当都可导都可导时，有

即，两个函数之积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数。

特别地，当=C时，因为=0，所以由上述法则立即可以得出

即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数。

探究3：如果都可导，且， ，你认为  的导数与有什么关系？用实例验证你的猜想。

一般来说，

例如，当 时，因此

即

事实上，可以证明，当都可导，且， ，时有

=

1. 导数的运算法则

(1)和差的导数

[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

(2)积的导数

①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

②[cf(x)]′＝cf′(x)．

(3)商的导数

′＝(g(x)≠0)．

二、典例解析

 例1.求下列函数的导数

（1）

（2）

解：（1）

=

（2）

例2.求曲线（，） 处的切线方程。

解：因为

===

所以所求切线 又因为

所以切点为（，1），从而可知所求切线的方程为

即

  求函数的导数的策略

(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；

(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算．

跟踪训练1  　求下列函数的导数：

(1)y＝x2＋log3x；  (2)y＝x3·ex；   (3)y＝.

[解]　 (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.

(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′

＝3x2·ex＋x3·ex＝ex(x3＋3x2)．

(3)y′＝′＝

＝＝－.

探究4：已知 .

(1)    可以由得到吗？

(2)    分别有什么关系？，并总结它们之间的关系。

如果在中，令，则有

又因为 ，因此

一般地，如果函数.

则可以证明，复合函数的导数之间的关系为

2．复合函数的求导法则

复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝______，即y对x的导数等于_________________________ _______．

y′u·u′x;y对u的导数与u对x的导数的;乘积

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx． (　　)

(2)f (x)＝ln(3x－1)则f ′(x)＝． (　　)

(3)f (x)＝x2cos2x，则f ′(x)＝2xcos2x＋2x2sin2x． (　　)

[提示]　(2)中f ′(x)＝.  (3)中，f ′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x.

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

例3.求下列函数的导数

（1）h(x)    

（2）f(x)

(3) ;

 (4)

解：（1）函数h(x)

=5.

（2）函数

=.

（3）函数

= =.

（4）函数

= =cosu.

1．解答此类问题常犯两个错误

(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；

(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．

2．复合函数求导的步骤

跟踪训练2.  求下列函数的导数：

(1)y＝e2x＋1；(2)y＝；

(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝.

 [解]　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.

(2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，

∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4

＝－6(2x－1)－4＝－.

(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，

∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝.

(4)∵(ln 3x)′＝×(3x)′＝.

∴y′＝＝＝.

通过具体问题的思考和分析，提出函数和差积商的求导问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，归纳出导数和差的求导法则，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对基本函数导法则的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1．已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为   (　　)

A．1　　　　　B．        C．－1          D．0

解析：∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，又∵f′(1)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.

答案：A

2．函数y＝x2cos 2x的导数为(　　)

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x               B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x

C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x               D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

B　[y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x.]

3．已知f (x)＝ln(3x－1)，则f ′(1)＝________.

　[f ′(x)＝×(3x－1)′＝，∴f ′(1)＝＝.]

4.求下列函数的导数．

(1)y＝x－2＋x2；

(2)y＝3xex－2x＋e；

(3)y＝；

(4)y＝x2－sin cos.

[解]　(1)y′＝2x－2x－3.

(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

(3)y′＝.

(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，

∴y′＝2x－cos x.

5.曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是?

解：设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．

∵y′＝，∴y′|＝＝2，

解得x0＝1，

∴y0＝ln(2－1)＝0，

即切点坐标为(1，0)．

∴切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，

即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1．如果求导公式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开为和式求导，商式变乘积式求导，三角恒等变换后求导等．

2．求简单复合函数f(ax＋b)的导数，实质是运用整体思想，先把复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b进行求导，并把求导结果相乘，灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是求解的关键．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。