高中人教B版 (2019)5.4 数列的应用精品ppt课件

课程目标

学科素养

A. 能够将实际问题抽象为数列模型,提高分析问题和解决问题的能力.(数学建模)

B.会利用等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式解决分期付款和政府支出的“乘数”效应等问题.(数学运算).

1.数学抽象：还款中的数列模型

2.数学运算：运用数列知识解决实际问题

3.数学建模：将实际问题转化为数列模型

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

1.分期还款与数列

  探究1.我们知道,当偿还银行贷款时，需要将本金和利息一起偿还，分期还款是一种很常见的还款方式，其本质是将本金和利息分摊到每一期偿还.目前,常见的分期还款方式，有“等额本金还款法” ，“等额本息还款法” .你能根据这两种还款方式的名称猜出他们的不同吗？如果向银行贷款本金元打算分成 期偿还，并且每一期的利率为，记每期还款的钱数构成的数列为

, , …,

你能写出这两种还款方法中，第期所要还的钱数的表达式吗？

     前面我们已经看到了数列的很多应用，这一节我们再通过几个实例来展示数列的应用。

1. 等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还，每期还款金额＝＋(贷款本金－已还本金总额)×利率

二、典例解析

例1.自主创业的大学生张华向银行贷款200000元租赁了一处经营场所，因为预计前期经营状况会比较好，张华跟银行的约定按照“等额本金还款法” 分10年进行还款，贷款的年利率为5%，设第年张华的还款金额为元，求出的表达式，并说出数列{}的特征。

解：因为每期所还本金为

=20000（元）

因此，第年以前已还本金总额为20000 元，从而有

=

可以看出, {}是一个递减的等差数列.

“等额本息还款法” 是将本金和利息平均分配到每一期进行偿还，因此每一期所还的钱数相等，即

      为了较快地推导出这种方式中每一期所要还的钱数，我们先介绍资金的现值与未来值。

探究2.  假设你现在手中有1000元钱，而且你打算一年以后再使用这笔钱，那么一年以后这笔钱所能买到的东西价值最多只能是1000元吗？为什么？由此你能得到什么启发？

       因为可以将这笔钱存入银行中，而到期之后银行会支付利息，因此一年后使用这笔钱时所能买到的东西价值是不止1000元的。例如，假设一年定期的存款利率为5%，不计利息税，则一年后的本息和为

即一年后可以买到价值1050元的东西。

       换句话说现在的1000元相当于一年后的1050元。类似地，如果记现在的元相当于年后的A元，银行存款的年利率为且每年结算一次利息（不计利息税，下同）则
        经济学上，一般称为A的现值，而A为的未来值。可以看出，现值的计算公式提供了不同时期资金换算的方法，因此日常生活中有广泛的应用。

      在前面的情境中，如果用“等额本息还款法” 进行还款，设贷款时的资金为现值，且每一期所还钱数为元，则

第1期所还前的现值为元

第2期所还钱的现值为元

……

第 期所还钱的现值为元

最后还款的现值总和为元，因此

… =

，所以由等比数列前项和公式可解得

2.等额本息还款法：即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还．

每期还款金额＝，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数(单位：月)．

例2. 刚考入大学的小明准备向银行贷款5000元购买一台笔记本电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款，小明与银行约定：每个月还一次款，在12个月内还清所有的欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为0.5%，试求出小明每个月所要还款的钱数（精确到0.01元）

解：可以看出，小明选择的还款方式为“等额本息还款法” ，因此

即小明每个月要还款约430.33元。

=

1．本节课的重点是应用数列知识解决实际问题，难点是如何化实际问题为数学问题，转化的关键是明确题设信息，利用递推关系式方程思想建立等量关系．

2．明确分期付款中的两种常见方式：等额本金还款法和等额本息还款法，前者为等差数列模型，后者为等比数列模型．

2.政府支出的乘数效应与数列
      经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时支出，如果政府的支出增加，那么就会产生“乘数” 效应.
      例如，政府如果增加道路维修费用300亿元，那么这笔费用将会使部分居民收入增加，假设这些居民将收入增加量的75%用于国内消费，25%用于存储或国外消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使份部分居民收入增加。收入增加了的居民又将一定比例的收入增加量用于国内消费，因此又会产生新一轮的影响……假设每一个受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后国内消费总额将会是300亿元的倍数(最初政府支出也算是国内消费)，也就是说有了“乘数” 效应。

事实上，在这个例子中，如果设第轮消费的金额为元，则：

第1轮居民用于消费的金额为=300×75%（亿元）；

第2轮居民用于消费的金额为= ×75% =300× （亿元）；

……

第30轮居民用于消费的金额为= ×75% =300× （亿元）

因此,经过30轮后，国内消费总额是

300+300×75%+300× +…+300×

       政府的初始支出为300亿元，而国内消费最后约为1200亿元，因此国内消费越是初始支出的4倍。

例3.假设政府增加某项支出100亿元，每个受惠的居民会将80%的额外收入用于国内消费，求经过30轮影响之后，最后的国内消费总额（最初政府支出也算是国内消费，结果精确到1亿元）。

解：依题意可知，经过30轮影响之后，最后国内消费总额为

100+100×80%+100× +…+100×

例4.某些食物中含有一定量的微量元素，当人体摄入微量元素之后，微量元素会随着尿液、汗液等部分排出。假设某人每天吃进微量元素10 mg，该微量元素每天以10%的比率排出，则30天后在此人体中积累了多少该微量元素？（设一开始某人体内该微量元素为0，计算结果精确到0.1mg）

解：设第天时此人体内有微量元素mg，则:

第1天此人身体内的微量元素为=10×(1 %)   (mg)

第2天，此人身体内的微量元素为=+10) ×(1 %)

=10 ×(1 %)+10×   (mg)

第3天，此人身体内的微量元素为=+10) ×(1 %)

=10 ×(1 %)+10× +10×   (mg)

第30天，此人身体内的微量元素为

=+10) ×(1 %)

=10 ×(1 %)+10× +…+10×

(mg)

即30天后在此人身体中积累了约86.2mg的该微量元素。

例5.某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中取出200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过年之后，该项目的资金为万元

（1）写出的值以及数列的递推公式;

（2）证明：为等比数列，并求出数列的通项公式；

（3）求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标。

解：(1)由题意知

=1000×(1 %)

而且

=×(1 %) .

(2)由(1)可知，

=

又因为

所以可知 ，从而可知为等比数列，因此

所以 +800

(3)令 可得 ,因此(.

(，

所以(

因此

即至少要经过12年,项目的资金才可以达到或超过三两番的目标.

求解此类问题的关键是依据题设条件，巧借an及an－1即抓住数列前后两项(几项)的数量关系，建立递推关系an＝pan－1＋q，在此基础上借助数列知识给予解答，常用的方法便是待定系数法和构造等比数列法.

通过生活中的还款问题，引出数列在实际生活中的应用，激发学生学习兴趣。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典例分析，帮助学生通过寻找问题中的数量关系，建立数学模型，提升解决问题的能力。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典例分析，帮助学生通过寻找问题中的数量关系，建立数学模型，提升解决问题的能力。发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

三、达标检测

1.远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问塔尖几盏灯?”源自明代数学家吴敬所著的《九章算法比类大全》,通过计算得到的答案是(　　)

A.2      B.3            C.4          D.5

解析:由题意,设塔尖有a盏灯,根据题意,由上往下数第n层有2n-1a盏灯,所以一共有(1+2+4+8+16+32+64)a=381,∴a=3.

答案:B

2.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”,它在世界数学史上具有光辉的一页,堪称数学史上名垂百世的成就,而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题,其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活中都有着广泛应用,为世界数学的发展做出了巨大贡献.现有这样一个整除问题:将1到2 019这2 019个整数中能被5除余2且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},那么此数列的项数为(　　)

A.58      B.59       C.60                      D.61

解析:能被5除余2且被7除余2的数就是能被35除余2的数,故an=2+(n-1)35=35n-33.由an=35n-33≤2 019,得n≤58+  ,n∈N+,故此数列的项数为58.

答案:A

3.某工厂去年12月份的月产量为a,若该厂产量月平均增长率为p,则今年12月份的月产量比去年同期增加的比率为(　　)

A.(1+p)12 B.(1+p)12-1

C.(1+p)11 D.12p

解析:由题意,今年12月份的月产量为a(1+p)12,则增加的比率为=(1+p)12-1.

答案:B

4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其重量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,…,10),且a1<a2<…<a10,若48ai=5M,则i=(　　)

A.6 B.5   C.4           D.7

解析:由题意,知由细到粗每段的重量成等差数列,

记为{an},设公差为d,

则解得a1=,d=,

∴该金杖的总重量M=10×=15.

∵48ai=5M,∴48[+(i-1)×]=75,

即39+6i=75,解得i=6.

答案:A

5.如图所示,是毕达哥拉斯的生长程序:正方形上连接着一个等腰直角三角形,等腰直角三角形的直角边上再连接正方形,…,如此继续.若一共能得到1 023个正方形,设初始正方形的边长为,则最小正方形的边长为　　　　. 

解析:记初始正方形的边长为a1,经过n-1次生长后的正方形的边长为an,经过n-1次生长后正方形的个数为bn,

由题可知,数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,

∴an=)n-1=.

由题意可知,bn=1+2+22+…+2n-1==2n-1,

令bn=2n-1=1 023,解得n=10,

∴最小正方形的边长为a10=.

答案:

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。