人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用图文课件ppt

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1.熟记基本初等函数的导数公式,并能运用这些公式求基本初等函数的导数;2.掌握导数的运算法则,并能运用法则求复杂函数的导数;3.掌握复合函数的求导法则,会求复合函数的导数.
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基本初等函数的求导公式
C'=　　　　　,(xα)'=　　　 　,(ax)'=　　　　 ,(lgax)'=　　　　　,(sin x)'=　　　　　,(cs x)'=　　　　　. 
名师点睛特殊函数的导数:(1)(ex)'=ex.
2.已知f(x)=x2,则f'(3)=(　　)A.0B.2xC.6D.9
解析 f'(x)=2x,∴f'(3)=6.
1.函数和(或差)的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)±g(x)]'=　　　　　　　　.即两个函数之和(或差)的导数,等于这两个函数的　　　 　　. 2.函数积的求导法则设f(x),g(x)是可导的,则[f(x)g(x)]'=　　　　　　　　　　　.即两个函数之积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数. 由上述法则立即可以得出[Cf(x)]'=Cf'(x).即常数与函数之积的导数,等于常数乘以　　　　　　. 
f'(x)±g'(x)
f'(x)g(x)+f(x)g'(x)　
3.函数的商的求导法则
名师点睛正确理解函数的求导法则应注意以下几点:(1)两个函数和(差)的求导法则可以推广到若干个函数和(差)的情形:即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x).(2)准确记忆公式形式,应注意:[f(x)g(x)]'≠f'(x)·g'(x)≠f'(x)g(x)-f(x)g'(x);
过关自诊1.[2023河南三门峡灵宝校级月考]已知函数f(x)=3x+ ,则f'(1)=(　　)A.1B.2C.3D.4
2.[人教A版教材习题]已知函数f(x)=xln x.(1)求这个函数的导数;(2)求这个函数的图象在点(1,0)处的切线方程.
解(1)f'(x)=(xln x)'=x'·ln x+x(ln x)'=ln x+1.(2)因为k=f'(1)=ln 1+1=1,所以切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.
简单复合函数的求导法则
一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=h(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为h'(x)=[f(g(x))]'=f'(u)·g'(x)=f'(g(x))g'(x).这一结论也可以表示为y'x=y'uu'x.
名师点睛复合函数求导的主要步骤是:(1)分解复合函数为基本初等函数,适当选取中间变量.(2)求每一层基本初等函数的导数.(3)每层函数求导后,需把中间变量转化为自变量的函数.
过关自诊[北师大版教材例题]求函数y= 的导数.
u=φ(x)=3x+1复合而成的.由复合函数的求导法则,可得
探究点一　利用导数公式求函数的导数
【例1】 求下列函数的导数:
(4)∵y=5x,∴y'=5xln 5.
规律方法　简单函数求导的解题策略(1)若所求函数符合导数公式,则直接利用公式求解.(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原则,避免不必要的运算失误.(3)要特别注意“ 与ln x”“ax与lgax”“sin x与cs x”的导数区别.
其中正确的有(　　)A.0个B.1个C.2个D.3个
(2)[人教A版教材习题]求下列函数在给定点的导数:①f(x)=x5在x=3处的导数;②f(x)=ln x在x= 处的导数;③f(x)=sin x在x=2π处的导数;④f(x)=ex在x=0处的导数.
解①因为f'(x)=5x4,所以f'(3)=5×34=405;
③因为f'(x)=cs x,所以f'(2π)=cs 2π=1;④因为f'(x)=ex,所以f'(0)=e0=1.
探究点二　利用导数的运算法则求导数
【例2】 [人教A版教材习题]求下列函数的导数:(1)y=2x3-3x2-4;
(2)y=3cs x+2x;
(3)y=exln x;
解 y'=(2x3)'-(3x2)'-4'=6x2-6x;解 y'=(3cs x)'+(2x)'=-3sin x+2xln 2;
(6)y=tan x.
规律方法　运用导数求导法则求导的解题策略(1)对于函数求导问题,一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时,必须注意变换的等价性,避免不必要的运算错误.(2)若要求导的函数解析式与三角函数有关,往往需要先运用相关的三角公式对解析式进行化简与整理,然后套用公式求导.
变式训练2[2023河南模拟]已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(1)=　　　　　. 
解析 因为f(x)=x2f'(1)+x+2,则f'(x)=2xf'(1)+1,故f'(1)=2f'(1)+1,解得f'(1)=-1.
探究点三　复合函数的求导
【例3】 求下列函数的导数:(1)y=(3x-1)2;(2)y=ln(5x+2);
解 设y=u2,u=3x-1.则y'=y'u·u'x=2u·3=6(3x-1)=18x-6.
解 设y=ln u,u=5x+2,
(5)y=cs2x.
解 设y=u2,u=cs x,则y'=y'u·u'x=2u·(-sin x)=-sin 2x.
规律方法　1.复合函数的求导法则如下:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'·ux'(其中yx'表示y对x的导数).即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.2.复合函数的求导应注意以下几点:(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的,适当选定中间变量.(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导,而其中要特别注意的是中间变量的导数.(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,求出各函数的导数,并把中间变量转换成自变量的函数.(4)复合函数的求导过程熟练后,中间步骤可以省略不写.
变式训练3(1)[北师大版教材习题]求下列函数的导数:①y=e-x+2(2x+1)5;②y=cs(3x-1)-ln(-2x-1);③y=sin 2x+cs2x;
解①y'=-e-x+2×(2x+1)5+e-x+2×5(2x+1)4×2=(9-2x)(2x+1)4e-x+2;
③y'=2cs 2x-2cs xsin x;
(2)[北师大版教材习题]求曲线y=ln(3x-2)在x=1处的切线的方程.
所以切线方程为y-0=3(x-1),即3x-y-3=0.
探究点四　导数运算法则的应用
【例4】 (1)[2023山西晋城期末]有一机器人的运动方程为s(t)=t2+6t,t是时间,单位是秒,s是位移,单位是米,则该机器人在时刻t=2秒的瞬时速度为(　　)A.5B.7C.10D.13
解析 ∵s(t)=t2+6t,∴s'(t)=2t+6,∴s'(2)=2×2+6=10,故选C.
(2)已知函数f(x)=eax,设曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=　　　　　. 
解析 曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为f'(0),又切线与直线x+2y+1=0垂直,所以f'(0)=2.因为f(x)=eax,所以f'(x)=(eax)'=eax·(ax)'=aeax,所以f'(0)=ae0=a,故a=2.
(3)[北师大版教材例题]求曲线f(x)= +2xln x在点(1,0)处的切线的方程.
解根据导数公式表及导数的四则运算法则,可得
规律方法　利用导数运算法则可快速求解f'(x0),分两步完成:(1)根据y=f(x)求y=f'(x);(2)代入x0.这就给我们求瞬时变化率和切线的斜率带来了方便.
变式训练4[北师大版教材习题]求曲线f(x)=x3+x-2与直线y=4x-1平行的切线的方程.
因为切线斜率k=4,所以当切点为(1,0)时,切线方程为y-0=4(x-1),即4x-y-4=0;当切点为(-1,-4)时,切线方程为y-(-4)=4[x-(-1)],即4x-y=0.
1.下列各式正确的是(　　)
C.(3x)'=3x D.(3x)'=3x·ln 3
2.已知函数f(x)=x+sin x+1,其导函数记为f'(x),则f(2 022)+f'(2 022)+f(-2 022)-f'(-2 022)=(　　)A.2 022B.2C.1D.0
解析 因为f'(x)=1+cs x,所以f'(x)为偶函数,所以f'(2 022)-f'(-2 022)=f'(2 022)-f'(2 022)=0,所以原式等价于f(2 022)+f(-2 022)=2 022+sin 2 022 +1+(-2 022-sin 2 022+1)=2,故选B.
3.已知函数f(x)=4x-x3,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线的倾斜角是　　　　　. 
解析 由f(x)=4x-x3,得f'(x)=4-3x2,所以f'(1)=4-3=1,所以切线的斜率为k=1,设切线的倾斜角为α,