高中人教B版 (2019)6.1.2 导数及其几何意义优秀ppt课件

课程目标

学科素养

A. 理解瞬时变化率、导数的概念．

B.理解导数的几何意义．

C.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．

1.数学抽象：导数的概念

2.逻辑推理：导数及导数的几何意义

3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率

4.直观想象：导数的几何意义

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

问题1. 从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的.例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A,B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量的方向相同.

     那么到底什么是瞬时速度呢？怎样才能确定一般曲线在某一点的切线?例如,图中物体在B处的速度方向与向量还是向量的方向相同？

探究1.已知物体运动的位移与时间的关系为

（1）分别求出物体在与这两段时间内的平均速度；

（2）思考物体在时的速度该如何定义，并指出这一速度的实际意义.

根据平均速度等于平均变化率可知，在内，物体的平均速度为

.

在这段时间内物体的平均速度为

.

不难想到，如果记时物体速度为, 那么当很小时，

物体在以2和 端点的闭区间上的平均速度应该是的近似值，即

0.5

而且，近似会越来越精确，此时，可以看出是无限接近于2的，如下表所示.

0.5

因此，可以认为时，是物体的速度

，

这个速度通常称为瞬时速度（简称为速度）.这一速度的实际意义是，在附近

的任意一小段时间内，物体运动的位移的近似值为
     瞬时速度在日常生活中随处可见，例如,汽车在行驶时,速度表盘上显示的就是瞬时速度,如图所示，

而且该瞬时速度也是按照上述的方法得出的近似值.

一、瞬时变化率与导数

一般地,设函数y=f(x)在x0附近有定义,自变量在x=x0处的改变量为Δx,当Δx无限接近于0时,若平均变化率无限接近于一个常数k,那么称常数k为函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率.此时,也称f(x)在x0处可导,并称k为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)=k.

为了简单起见,“当Δx无限接近于0时,无限接近于常数k”也常用符号“→”(读作“趋向于”)表示为当Δx→0时,→k,或者写成=k,即f'(x0)=.

前面的尝试与发现中， 时的瞬时速度实际上就是函数

在处的导数即

二、典例解析

例1. 已知函数，求在处的导数

解：当自变量在处的改变量为时，平均变化率

.
可以看出，当无限接近于0时，无限接近于-6，因此

例2. 在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作,称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续的取值，并将总成本函数的导数称为在的边际成本，用MC表示，即MC.

已知某产品的总成本函数,求边际成本MC，并说明实际意义.

解：设Q=300时产量的改变量为则

令 ，可得MC

因此，产量为300时的边际成本为600.其实际意义是：

此时多生产1件产品，成本要增加600.

求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤

简称:一差、二比、三极限.

跟踪训练1.(1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且=1,则f'(x0)等于(　　)　 　　　　　　　　　　　　　　

A.1 B.-1 C.- D.

(2)求函数f(x)=x-在x=1处的导数.

分析:(1)类比f'(x0)=求解.

(2)先求Δf→再求→计算

(1)解析:∵

=

=-3f'(x0)=1,∴f'(x0)=-,故选C.

答案:C

(2)解:∵Δf=(1+Δx)-

=Δx+1-=Δx+,

∴=1+,

∴f'(1)==2.

例3.某正方形铁板在时，边长为10cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为正方形的边长为10 其中为常数，设此时正方形的面积为，且,求并且使其实际意义.

解：依题意可知

,

设=0时温度的改变量为则

令 ，可得

这表示在时，铁板面积对温度的瞬时变化率为，实际意义是，在时，温度的该变量很小时，铁板面积的该变量的近似值 .

探究2.已知函数 ,设自变量在的改变量:

（1）依照定义求出；

（2）设M为函数图像上一点,探讨无限接近于0时,直线OM具有什么样的性质.

显然，平均变化率

可以看出，当无限接近于0时, 无限接近于1，因此

从几何上看如图所示，点A,B对应的都小于0，而且B对应的更加接近于0，这也就是说,直线OA,OB的斜率都小于1，且OB的斜率更接近于1，类似地，点C，D对应的都大于0，而且C对应的更加接近于0，直线OC,OD的斜率都大于1，且OC的斜率更接近于1.

        因此，若M为函数图像上一点，则无限接近于0时，直线OM的斜率将无限接近于1,直线OM将无限接近于过O点且斜率为1的直线.这里的直线就是曲线 在（0,0）处的切线.

                  二、导数的几何意义

      函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的斜率,从而根据直线的点斜式方程可知,切线的方程是y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).

例4.已知函数,求曲线在处切线的斜率与方程。

解：因为

因此所求切线的斜率为2.

又因为=1，所以切线的方程为

即

解决曲线y=f(x) 上点P(x0,y0)处的切线方程的基本步骤：

若切点为P(x0,y0),则y0=f(x0),切线斜率k=f'(x0).

由kPM=k,得方程k=f'(x0)=.

化简上述方程，得切线方程y-y0=k(x-x0).

例5.已知函数,求曲线在处的切线方程。

解：因为

又因，所以切线的方程为

即

       借助曲线的切线，我们还可以从几何上来理解瞬时变化率的实际意义，并可利用某一点的导数来估计这一点附近的函数值。

通过具体问题的思考和分析，提出计算瞬时速度的问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，建立导数的概念，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对导数的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

通过典型例题，加深学生对求曲线上某点处切线斜率的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1.已知f(x)=x3,则f'(0)=(　　)

A.-1 B.1    C.          D.0

解析:f'(0)=

=(Δx)2=0.

答案:D

2.已知函数,则曲线y=f(x)在(1,-1)处的切线方程是(　　)

A.x-y-2=0     B.2x-2y+3=0      C. x+y=0          D. x-y=0

解析:f'(1)==1,所以切线的斜率k=1.由点斜式可得y+1=x-1,即x-y-2=0,此即为切线方程.

答案:A

3.已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则=(　　)

解析:根据题意,

×f'(x0),

又由函数f(x)在x=x0处的导数为2,即f'(x0)=2,

故=1.故选C.

答案:C

4.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的水平距离s(m)与时间t(s)之间的函数关系为s=

t2,则t=2 s时,此木块在水平方向的瞬时速度为　　　m/s. 

解析:t=2 s时的瞬时速度为

=(4+Δt)=(m/s).

答案:

5.已知函数f(x)=x2+,试求曲线y=f(x)与x轴平行的切线方程.

解:设切点为(x0,y0),由导数定义可得

f'(x0)=

=

==2x0-.

切线与x轴平行时,其斜率为0,则有2x0-=0,解得x0=1,此时y0=3.故切线方程为y-3=0(x-1),即y=3.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

1．函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率即为f′(x0)，且f′(x0)＝.

2．求曲线在点(x0，y0)处的切线方程可直接套用公式：y－y0＝f′(x0)(x－x0)求解．

3．根据导数的几何意义可知，f′(x0)能反映曲线f(x)在x＝x0处的升降及变化快慢情况，若f′(x0)>0，则曲线在该点处上升，若f′(x0)<0，则曲线在该点处下降．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。