人教B版高二数学选择性必修第三册6.2.2《导数与函数的极值、最值（2）》课件+教案

课程目标

学科素养

A. 理解极值与最值的区别与联系．

B.会求函数在闭区间上的最值．

C.能利用导数解决与函数最值相关的综合问题．

1.数学抽象：求函数最值的方法

2.逻辑推理：函数极值与最值的关系

3.数学运算：运用导数求函数的最值

4.直观想象：最值与极值的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

探究1.观察图所示函数, 的图像,回忆函数最值的定义，回答下列问题：

（1）图中所示函数的最值点与最值分别是多少？

（2）图中所示函数的极值点与极值分别是多少？

（3）一般的函数的最值与函数的极值有什么关系？怎样求可导函数的最值？

       我们知道，函数的最大(小)值是函数定义域内最大(小)的函数值.因此，图所示函数, 的最大值点为2，最大值为3；最小值点为0，最小值为-3.而且，函数的极大值点为-2，极大值为2；极小值点为0，极小值为-3.
        由此可以看出，最值与极值是有区别的，最值点与极值点也有区别。

1.函数的最值

(1)一般地，如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个极值点；

(2)如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b] 且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是极值点

，要么是区间端点a或b．

问题1：函数的极值与最值的区别是什么？

函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

问题2．求函数f (x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值 ；

(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f (x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．(　   )

(2)开区间上的单调连续函数无最值．       (   　)

(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值． (　　)

(4)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点． (　　)

解析：　(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．

(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．

(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．

(4)正确．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

二、典例解析

例3.已知, 求的极值点以及极值，最值点以及最值.

解：当时,

解方程，可得或

解不等式，可得或,此时递增，

解不等式,可得此时递减.

因此, 在上递增，在上递减，在上递增.

由于，从而可知是函数的极大值点，极大值为

;

是函数的极小值点,极小值为，

又因为 ,所以函数的最大值点为1，最大值为注意到 对任意实数都是成立的，因此可知函数的最小值点为0，而且最小值是

求函数最值的解题策略

(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不间断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)如果函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,求f(x)在区间[a,b]上的最值可简化过程,即直接将极值点的函数值与端点的函数值比较大小,即可判定最大(或最小)的函数值,就是最大(或最小)值.

(3)求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点的函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要估算,甚至有时需要进行分类讨论.

(4)求函数在开区间上的最值时,要借助导数分析研究函数的单调性与极值情况,从而画出函数的大致图像,结合图像求出最值.

跟踪训练1. 求下列函数的最值:

(1)f(x)=x3-2x2+1,x∈[-1,2];

(2)f(x)=sin 2x-x,x∈;

(3)f(x)=-x.

解:(1)f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0或x=.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

从上表可知,最大值是f(0)=f(2)=1,最小值是f(-1)=-2.

(2)f'(x)=2cos 2x-1,x∈,

令f'(x)=0,得x=-或x=.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

由上表可知,

当x=-时,f(x)取得最大值f,

当x=时,f(x)取得最小值f=-.

(3)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1,令f'(x)=0,得x2=1-ln x,显然x=1是方程的解.

令g(x)=x2+ln x-1,x∈(0,+∞),

则g'(x)=2x+>0,

∴函数g(x)在(0,+∞)上单调递增,

∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.

∵当0<x<1时,f'(x)=-1>0,

当x>1时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

∴当x=1时,函数f(x)有最大值,且最大值是f(1)=-1,函数f(x)无最小值.

例4. (1)若函数f(x)=ax3+bx-4在x=1处取得极值,且极值为0,求实数a,b的值;

(2)已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(a≠0),是否存在实数a,b使f(x)在区间

[-1,2]上取得最大值3,最小值-29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

思路分析(1)可利用f'(1)=0,f(1)=0求解;

(2)利用求最值的方法建立关于a,b的方程组确定a,b的值,注意对a的讨论.

解:(1)由于f(x)=ax3+bx-4,所以f'(x)=3ax2+b.

依题意,可得f'(1)=0且f(1)=0.

即解得

(2)存在.f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),

令f'(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).

①当a>0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以当x=0时,f(x)取得最大值.所以b=3.

又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3,f(-1)>f(2),所以当x=2时,f(x)取得最小值,

所以-16a+3=-29,即a=2.

②当a<0,x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以当x=0时,f(x)取得最小值.所以b=-29.

又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1),所以当x=2时,f(x)取得最大值,

所以-16a-29=3,即a=-2.

综上所述,a=2,b=3或a=-2,b=-29.

跟踪训练2. 已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围.

解:f'(x)=x2-(m+3)x+m+6.

因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,

所以f'(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点,

如图所示.

所以

解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞).

通过具体问题的思考和分析，提出函数最值的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，归纳出导数与函数最值的关系，并帮助学生理解极值与最值的联系与区别，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对运用导数求函数最值的方法的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A.5,-15      B.5,-4       C.-4,-15        D.5,-16

解析:由f'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)=0,得x=-1或x=2.

因为f(0)=5,f(2)=-15,f(3)=-4,

所以f(2)<f(3)<f(0),

所以f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-15.

答案:A

2．函数y＝的最大值为(　　)

A．e－1　   B．e　　　C．e2　　　D．10

A　[令y′＝＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；

当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，

因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]

3．设函数f (x)＝x3－－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f (x)＞m，则实数m的取值范围是________．

　[f ′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－.f (－1)＝，f ＝，f (1)＝，f (2)＝7，∴m＜.]

4.已知函数f(x)=2x3-6x2+m(m∈R)在区间[-2,2]上有最大值3,求它在[-2,2]上的最小值.

解:f'(x)=6x2-12x=6x(x-2),

在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,

∴f(x)极大值=f(0)=m.

又f(-2)=-16-24+m=m-40,

f(2)=16-24+m=m-8.

容易判断m-40<m-8<m,∴m=3,

∴f(x)min=m-40=-37,即最小值是-37.

5．已知a是实数，函数f (x)＝x2(x－a)，求f (x)在区间[0，2]上的最大值．

[解]　f ′(x)＝3x2－2ax.

令f ′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝.

①当≤0，即a≤0时，

f (x)在[0，2]上单调递增，从而f (x)max＝f (2)＝8－4a.

②当≥2，即a≥3时，f (x)在[0，2]上单调递减，从而f (x)max＝f (0)＝0.

③当0＜＜2，即0＜a＜3时，f (x)在上单调递减，在上单调递增，

从而f (x)max＝

综上所述，f (x)max＝

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；

（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。