人教B版高二数学选择性必修第三册6.2.2《导数与函数的极值、最值（1）》课件+教案

课程目标

学科素养

A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.

B．初步掌握求函数极值的方法．

C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．

1.数学抽象：求函数极值的方法

2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系

3.数学运算：运用导数求函数极值

4.直观想象：导数与极值的关系

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    情景导学

如图所示，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，但它却是其附近的最低点。

    观察图中函数的图像，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，尝试用数学语言描述。与问题

    从图中可以看出，函数在这三点对应的函数值,都是其附近的函数值中的最大值；而在这两点对应的函数值,都是其附近的函数之中的最小者.

1.极值点与极值

一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,设x0∈D,如果对于x0附近的任意不同于x0的x,都有

(1)f(x)<f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;

(2)f(x)>f(x0),则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.

极大值点与极小值点都称为极值点,极大值与极小值都称为极值.显然,极大值点在其附近函数值最大,极小值点在其附近函数值最小.

探究1. 从图所示的函数图像中可以看出，A，B，C，D对应的横坐标都是函数的极值点，已知曲线在A，B，C，D之处都存在切线 

（1）A，B，C，D处的切线具有什么特征？这说明在处的导数具有什么特点？

（2）曲线在A，B，C，D附近的点处的切线具有什么特征？

可以看出，曲线在A，B，C，D处的切线都是水平的，这等价于

       而且，在A点与C点左侧的附近，曲线的切线斜率都大于零，在右侧的附近曲线的切线斜率都小于零.在B点与D点的附近则正好相反，因此在两侧附近的符号不一样。

一般地，如果是的极值点，且在处可导，则必有

二、典例解析

例1.已知,求所有使得的，并判断所求得的数是否是函数的极值点。

解：因为

所以令,可知 ,由此可解得

但0不是的极值点，因为而0左侧点的函数值总是小于0,且0右端的点的函数值总是大于0，这也可以从图中函数的图像看出来，例1说明，若存在，则“是极值点” 的必要而不充分条件

2．函数的导数与极值

(1)极小值点与极小值

若函数y＝f (x)在点x＝a的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f ′(a)＝0 ，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，就把点a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．

(2)极大值点与极大值

若函数y＝f (x)在点x＝b的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，就把点b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b) 叫做函数y＝f (x)的极大值．

(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

1．函数f (x)的定义域为R，导函数f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)

A．无极大值点，有四个极小值点

B．有三个极大值点，两个极小值点

C．有两个极大值点，两个极小值点

D．有四个极大值点，无极小值点

C　[设y＝f ′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，

在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]

例2. 已知函数，求函数的极值，并作出函数图像的示意图.

解：由题意

令0,解得：

当变化时， ，的变化情况如下表

因此，当时，有极大值，极大值为=

当时，有极小值，极小值为=- .

函数的图像如图所示.

一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤

1.求出函数的定义域及导数f′(x)；

2.解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；

3.用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；

4.由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：

如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；

如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；

如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.

跟踪训练1 求下列函数的极值：

(1)y＝x3－3x2－9x＋5；

(2)y＝x3(x－5)2.

 [解]　(1)∵y′＝3x2－6x－9，

令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.

当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

∴当x＝－1时，函数y＝f (x)有极大值，且f (－1)＝10；

当x＝3时，函数y＝f (x)有极小值，且f (3)＝－22.

(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．

令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，

解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：

∴x＝0不是y的极值点；

x＝3是y的极大值点，y极大值＝f (3)＝108；

x＝5是y的极小值点，y极小值＝f (5)＝0.

通过具体问题的思考和分析，提出函数极值的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

由特殊到一般的思想，归纳出导数与函数极值的关系，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。

通过典型例题，加深学生对运用导数求函数极值的方法的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素

三、达标检测

1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数y＝f ′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是(　　)

A．在(1，2)上函数f (x)为增函数

B．在(3，4)上函数f (x)为减函数

C．在(1，3)上函数f (x)有极大值

D．x＝3是函数f (x)在区间[1，5]上的极小值点

D　[由题图可知，当1＜x＜2时，f ′(x)＞0，

当2＜x＜4时，f ′(x)＜0，当4＜x＜5时，f ′(x)＞0，

∴x＝2是函数f (x)的极大值点，

x＝4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]

2．设函数f (x)＝xex，则(　　)

A．x＝1为f (x)的极大值点

B．x＝1为f (x)的极小值点

C．x＝－1为f (x)的极大值点

D．x＝－1为f (x)的极小值点

D　[令f ′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f ′(x)＜0；当x＞－1时，f ′(x)＞0.故当x＝－1时，f (x)取得极小值．]

3．已知函数f (x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．

(－∞，－1)∪(2，＋∞)　[f ′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，

∵函数f (x)既有极大值又有极小值，

∴方程f ′(x)＝0有两个不相等的实根，

∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，

即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]

4．已知函数f (x)＝2ef ′(e)ln x－，则函数f (x)的极大值为______．

2ln 2　[f ′(x)＝－，故f ′(e)＝－，

解得f ′(e)＝，所以f (x)＝2ln x－，f ′(x)＝－.

由f ′(x)＞0得0＜x＜2e，f ′(x)＜0得x＞2e.

所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，

故f (x)的极大值为f (2e)＝2ln 2e－2＝2ln 2.]

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

求可导函数y＝f (x)的极值的方法

解方程f ′(x)＝0，当f ′(x0)＝0时：

(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f (x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，那么f (x0)是极小值．

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。