初中数学人教版 (五四制)八年级上册第二十二章 分式22.1 分式公开课课件ppt

22.2 分式的运算

22.2.2 分式的加减 第1课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.理解分式的加减法法则，体会类比思想.

2.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减,体会化归思想.

3.熟练地进行分式加减法的运算.

（二）学习重点

熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

（三）学习难点

熟练地进行异分母的分式加减法的运算.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）同分母方式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示为：

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

用式子表示为：±=.

2.预习自测

 (1)计算:

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】

【思路点拨】分母不变，分子加减，注意：分子进行加减时，分子是多项式的时候要把它看成一个整体，一定要带括号再用加减号连接.

【答案】2.

(2)计算：

【知识点】同分母分式的加减法.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】把.

【答案】.

（3）计算：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】最简公分母为.

【答案】.

(4)计算：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想和整体的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】

【答案】

(二)课堂设计

1.知识回顾

（1）计算：

【答案】

（2）______   ______

【答案】

（3）分数的加减法法则是什么？

2.问题探究

探究一  分式的加减法法则

●活动①（回顾旧知，回忆类活动）

问题1: 甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?

教师提出问题，学生独立思考并完成.如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：

（1）甲工程队一天完成这项工程的

（2）乙工程队一天完成这项工程的

（3）两队共同工作一天完成这项工程的

问题2：2010年,2011年,2012年某地的森林面积(单位：公顷)分别是S1，S2，S3，2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了多少?

教师提出问题，学生独立思考并完成.如果学生存在问题，教师可适时启发，具体问题如下：

（1）什么是增长率？

学生回答，然后展示答案：就是增加的数额与原来的数额的比例关系.

（2）2012年的森林面积增长率是多少？

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：

（3）2011年的森林面积增长率是多少？

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：

（4）2012年与2011年相比,森林面积增长率提高了

学生在课堂作业本上完成，然后展示答案：

【设计意图】通过两个实际问题，说明分式的加减有着丰富的实际背景，为引出分式的加减法做铺垫.

●活动②（整合旧知，探究类活动）

问题3：分式的加减法与分数的加减法类似，它们实质相同.观察下列分数加减运算的式子，你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？

同分母？     ?  

异分母？     ？

学生回答问题，相互补充，在教师的引导下，学生给出分数的加减法法则，再通过类比得出分式加减法法则：“同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减”.

老师提问：你能用式子表示分式加减法法则吗？学生相互交流，然后师生归纳：

同分母：

异分母：

【设计意图】从学生已有的数学经验出发，经历由分数的加减法法则到分式加减法法则的类比过程，感悟分式的通性，体会类比方法在解决数学问题时的重要价值.

探究二 同分母的分式加减法的运算，会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.

●活动①计算：（1）

【知识点】分式的加减法法则

【解题过程】

解：原式

【思路点拨】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.

【答案】

（2）

【知识点】分式的加减法.

【解题过程】

解：原式

【思路点拨】同分母分式相加减，分母不变，分子相加减.

【答案】

（1）题由师生共同分析、解答，教师板书，（2）由学生独立完成.

教师提问：在上面的解题中要注意哪些问题？学生自我总结，发表心得，然后结合上面试题（2）进行归纳，总结如下：

分子为多项式时，应把多项式看作一个整体加上括号参加运算；结果也要约分化成最简分式.

【设计意图】通过练习使学生进一步理解同分母的加减法法则，会用它们进行简单的分式的加减运算.

●活动2 （1）请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？

先由学生回答，然后展示答案：18x4y3

让学生分组讨论找最简公分母的方法，然后每一组安排代表交流，最后由师生归纳学习成果：

①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母都要选取.

③找指数：取分母因式中出现的所有字母中指数最大的.

（2）请同学们说出的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？（学生分组讨论）

让学生分组讨论，老师巡查各组完成情况，对个别组进行引导，每一个组安排代表发言，最后师生归纳学习成果：最简公分母为a（a-b）（a+b）；分母是多项式时，先把分母进行因式分解.

同学们分组讨论归纳确定最简公分母的一般步骤，老师到各组指导，然后分组交流讨论结果.

确定最简公分母的一般步骤：

①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.

③找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.

这样取出的因式的积，就是最简公分母.

【设计意图】归纳确定最简公分母的方法，为异分母相加减做铺垫.

●活动③计算： 

教师提问：

（1）此题与活动①有什么区别？

活动①中的分母相同，此题分母不相同.

（2）此题怎么运算？

先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.

师生共同完成，教师板书解答过程：

解：原式

【设计意图】学生经历将异分母分式化归为同分母分式的过程，体会化归的作用.

●活动④你能用本节课所学知识解决“问题1”和“问题2”吗？

学生在作业本上完成，教师巡视并指导，师生交流.

【设计意图】通过这个练习，让学生应用分式的加减法法则解决简单的实际问题，并体会到分式的加减法在解决实际问题中的重要作用.

探究三  分式加减法的运算

●活动①（基础型例题）

我们讲了分式的加减法法则，运用法则进行分式的加减运算. 

例1计算：

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】

解： 

=

=

=

=

【思路点拨】分母不变，分子加减，注意：分子进行加减时，分子是多项式的时候要把它看成一个整体，一定要带括号再用加减号连接.

【答案】

练习：

【知识点】同分母分式的加减法.

【解题过程】

【思路点拨】分母不变，分子加减，结果也要约分化成最简分式.

【答案】

例2计算：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

=

【思路点拨】把变形成.

【答案】

练习：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】把变形成.

【答案】

【设计意图】通过练习使学生进一步理解简单的异分母分式的加减法法则.

●活动2（提升型例题）

例3计算：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

解:

【思路点拨】最简公分母为（2p+3q）（2p-3q）.

【答案】

练习：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

解：

=

=

=

=

=

【思路点拨】最简公分母为2（x+3）（x-3）

【答案】

例4阅读下面题目的计算过程.                                                                              

①

②

③

④

（1）上述计算过程，从哪一步开始错误，请写出该步的代号_______；

（2）错误原因___________；

（3）本题的正确结果为：______________.               

【知识点】分式的加减法法则.

【思路点拨】异分母的加减运算，先通分变成同分母的加减，然后分母不变，分子进行加减.

【答案】（1）②

        (2)漏掉了分母

(3)

【设计意图】进一步理解异分母分式加减法法则，例4提醒学生在计算中最容易出现的问题：漏掉分母.

●活动3（探究型例题）

例5计算：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想和整体的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】把多项式a-b看成一个分母为1的式子.

【答案】

练习：

【知识点】分式的加减法法则.

【数学思想】化归的数学思想.

【解题过程】

【思路点拨】把每一个单项式看成分母为1的式子.

【答案】

【设计意图】会进行分式与整式的加减运算，把整式看成分母为1的式子，再运用分式加减法法则进行运算，体会化归的数学思想.

例6已知a为整数，且为正整数，求a的值.

【知识点】分式的加减法法则.

【解题过程】

因为原式为正整数且a为整数，

所以a=-1或a=-2.

【思路点拨】把式子化简为，因为原式为正整数，则a+3=1或2.

【答案】a=-1或a=-2

练习：已知，求式子的值

【知识点】分式的加减法法则.

【解题过程】

因为

所以原式=

【思路点拨】把式子化简为，因为，则原式=.

【答案】

【设计意图】利用分式加减法法则，对代数式进行化简，根据要求求相应式子的值.

3. 课堂总结

知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）

（1）分式的加减法法则：

      同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.

用式子表示是：±=.

      异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.

用式子表示为：±=.

 （2）分式通分时，要注意几点：

①如果各分母的系数都是整数时通分，常取它们的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数；

②若分母的系数不是整数时，先用分式的基本性质将其化为整数，再求最小公倍数；

③分母的系数若是负数时，应利用符号法则，把负号提取到分式前面；

④若分母是多项式时，先按某一字母顺序排列，然后再进行因式分解，再确定最简公分母.

（3）确定最简公分母的一般步骤：

①找系数：如果各分母的系数都是整数，那么取它们的最小公倍数.

②找字母：凡各分母因式中出现的所有字母或含字母的式子都要选取.

③找指数：取分母因式中出现的所有字母或含字母的式子中指数最大的.

重难点归纳

（1）找准公分母；

（2）熟练地进行异分母的分式加减法的运算；

（3）运用分式加减法法则解决简单的实际问题.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.计算：

【知识点】分式的加减.

【解题过程】

【思路点拨】同分母的加减，分母不变，分子加减.

【答案】-1

2．下列计算正确的是（   ）

A．        B．

C．    D．

【知识点】分式的加减

【数学思想】化归思想.

【解题过程】A.；    B．；

C．；     D．.

【思路点拨】b-a=-(a-b),

【答案】D

3．化简：的结果是（　　）

　 A．       B．      C．       D．

【知识点】分式的加减；分式的化简.

【数学思想】化归思想.

【解题过程】

【思路点拨】把n-m变形为-(m-n).

【答案】A

4.分式的计算结果是（　　）

A．  B．  C．  D．

【知识点】分式的加减；分式的化简.

【解题过程】

【思路点拨】最简公分母为.

【答案】C

5．分式、、的最简公分母是．

【知识点】找最简公分母.

【解题过程】，系数为5、10、2最小公倍数10，字母部分为所有因式，指数为最大的，字母部分为.

【思路点拨】牢记找最简公分母的方法.

【答案】.

6．计算：

（1）；            （2）.

【知识点】分式的加减.

【数学思想】化归思想.

【解题过程】

（1）原式=

         ===．

（2） 解：原式= ==0．

【思路点拨】把.

【答案】（1）；(2)  0.

能力型 师生共研

1.先化简：, 当b=-1时，再从-2<a≤2的范围内选取一个合适的整数a代入求值.

【知识点】分式的混合运算；分式有意义.

【解题过程】解：

∵-2<a≤2且a为整数

∴a为-1、0、1、2

∵当b=-1时，要使分式有意义

∴a=2，原式=1

【思路点拨】化简后代值时，在原式和运算过程中分母都不能为0.

【答案】1.

2.已知=0，求代数式的值．

【知识点】分式的加减.

【解题过程】

解：原式===；

∵=0，∴=2；∴原式==1．

【思路点拨】由=0可得：，把原式化简得：，把代入化简.

【答案】 1.

探究型 多维突破

1．化简的结果是(       )

A. 0        B. 2        C. -2         D. 2或-2

【知识点】分式的加减；去绝对值.

【数学思想】分类讨论思想.

【解题过程】解：（1）当x2时，

（2）当x＜2时，,

【思路点拨】当x2时，，；当x＜2时，，.

【答案】D

2．若记=()=，其中(1)表示当=1时的值，即(1)==；()表示当=时的值，即；…；则(1)+(2)+()+(3)+()+…+(2017)+()= _________.

【知识点】分式的加减.

【数学思想】解法一的数学思想是不完全归纳法；解法二的数学思想是抽象的数学思想.

【解题过程】

解法一：==,，，，…，

则+=1，+=1，+=1…，

∴+++++…++=

解法二∵,

∴

∴+++++…++=

【思路点拨】应该分别计算、、、、的值，发现有什么规律，通过计算容易发现+ =1，+=1.

【答案】.

自助餐

1．计算的正确结果是（      ）

A.    B.     C.     D.

【知识点】分式的加减；分式的化简.

【解题过程】

【思路点拨】同分母分式加减，分母不变，分子加减得，分子要进行因式分解后约分得.

【答案】B.

2．化简的结果是（　　）

　 A．0      B．-    C．-     D．

【知识点】分式的加减；分式的化简.

【数学思想】化归思想.

【解题过程】

【思路点拨】最简公分母为,加减后得，再化成最简分式.

【答案】C.

3.计算：=      ．

【知识点】分式的加减；分式的化简.

【解题过程】

【思路点拨】最简公分母为，加减后得化简得.

【答案】.

4．化简的结果是__________．　　

【知识点】分式的加减.

【解题过程】

【思路点拨】把1看成，再通分.

【答案】

5.若，则的值为．                    

【知识点】分式的加减.

【数学思想】整体思想.

【解题过程】

【思路点拨】，把变形为

即则，所以原式=.

【答案】3

6.已知且x=5,求y的值，晓敏同学把x=5看成x=3，但是最后答案也正确，你能用所学知识解释吗？

【知识点】分式的加减.

【解题过程】

解：

       =－

       ==1， 

化简结果不含x，所以x=3或x=5答案都为1.

【思路点拨】先把式子化简得y=1.

【答案】化简结果不含x，所以x=3或x=5答案都为1.