初中数学人教版 (五四制)八年级上册22.3 分式方程精品课件ppt

第二十二章  分式

22.3分式方程 第1课时

一、教学目标

（一）学习目标

1．了解分式方程的概念．

2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．

3．了解解分式方程根需要进行检验的原因．

（二）学习重点

   解分式方程的基本思路和解法．

（三）学习难点

    解分式方程过程中产生增根的原因及如何验根.

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）分母中含__未知数____的方程叫做分式方程．

（2）解分式方程的基本思路：利用“__去分母_”法将分式方程化为整式方程．

2．预习自测

（1）在下列方程中，关于x的分式方程有(　　)

①＝3＋，②＝，③ ＝1，④－＝ (m，n为非零常数)，

⑤＋，⑥ ＋＝1(m，n为非零常数)．

A．1个     B．2个     C．3个      D．4个

【知识点】分式方程的定义

【解题过程】解：①④⑥分母中没有未知数，不是分式方程；⑤不是等式，所以不是分式方程；②③是方式方程．故选B．

【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程

【答案】B．

（2）若x＝3是分式方程－＝0的根，则a的值是(　　)

A．5     B．－5     C．3      D．－3

【知识点】分式方程的有关概念

【解题过程】解：把x＝3代入分式方程求得a=5．故选A．

【思路点拨】利用分式方程的解求a．

【答案】A．

（3）把分式方程＝ 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘(　　)

A．x     B．2x        C．x＋4       D．x(x＋4)

【知识点】分式方程的解法．

【数学思想】化归思想

【解题过程】解：方程两边同乘以x(x＋4)，可以转化为一元一次方程．故选D．

【思路点拨】方程两边同乘以最简公分母．

【答案】D．

（4） 方程＝0的解是(　　)

A．x＝1或－1     B．x＝－1    C．x＝0      D．x＝1    

【知识点】分式方程的解法．

【解题过程】解：左边约分可得x-1=0，则x＝1，经检验x＝1是原分式方程的解.

【思路点拨】先去分母，化为整式求解.

【答案】D．

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程．

（2）解一元一次方程的步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1．

如何解一元一次方程：.

解： 去分母，得18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)．

去括号，得18x＋4x－2＝18－3x－3

移项，得18x＋4x＋3x＝18－3＋2.

合并同类项，得25x＝17.

系数化为1，得x＝.

2．问题探究

探究一  分式方程的概念.

●活动①  整合旧知，探究分式方程的概念.

问题1：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的时间与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等，江水的流速为多少？

分析：设水流的速度为v千米/时.

(1)轮船顺流航行速度为________千米/时，逆流航行速度为________千米/时；

(2)顺流航行100千米的时间为________小时；逆流航行60千米的时间为________小时；

(3)根据题意可列方程为______________________________.

师生活动: (1)  20+v  20-v ；(2)    ；(3) =

追问1：所列方程与方程相比有什么不同？

归纳：像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.

追问2：分式方程与整式方程的区别在哪里？

通过观察发现这两种方程的区别在于未知数是否在分母上.未知数在_____的方程是分式方程.未知数不在分母的方程是____方程.

师生活动：分母、整式.

追问3：你能再写出几个分式方程吗？

【设计意图】让学生在观察和思考的过程中，发现并概括出分式方程的本质特征，了解分式方程的概念，认识其本质属性——分母中含有未知数.

探究二  探索分式方程的解法. ★

●活动①   大胆操作，探究新知识

问题2：你能尝试解分式方程： 吗？ 

  师生活动：学生独立思考，并尝试解这个方程，全班交流分式方程的解法．

【设计意图】让学生在已有的知识经验基础上，尝试解分式方程．

●活动②   集思广益，得出分式方程的解法

 问题3：这些解法有什么共同特点？

师生活动：学生讨论之后，教师总结，上述解法依据虽不同，但解分式方程的基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程．

教师再次提问：

思考：（1）如何把分式方程转化为整式方程呢？

（2）怎样去分母？

（3）在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？

（4）这样做的依据是什么？

学生思考后总结：（1）分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了；

（2）利用等式的性质2可以在方程两边都乘同一个式子——各分母的最简公分母．

【设计意图】通过探究活动，学生探索出解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，并知道解决问题的关键是去分母.

●活动③

追问   你得到的解v=5 是分式方程的解吗？

【设计意图】让学生知道检验分式方程的解的方法-----将未知数的值代入原分式方程的两边，看左右两边的值是否相等.

探究三  分析增根产生的原因  ▲

●活动①  增根产生的原因 

例1   解分式方程：

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】两边都乘以最简公分母（x+5）(x-5)，转化为整式方程．

【解题过程】解：两边都乘以最简公分母（x+5）(x-5)

得x＋5 ＝10

解得x＝5，

问题：x=5是原分式方程的解吗？该如何验证呢？

小结：x＝5 是原分式方程变形后的整式方程的解，但不是原分式方程的解，是增根．

产生的原因：在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．

检验的方法主要有两种：

（1）将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；

（2）将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．

检验：当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，因此x＝5不是原分式方程的解，原分式方程无解．

师生总结：

基本思路：将分式方程化为整式方程

一般步骤：（1）去分母；（2）解整式方程；（3）检验．

注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．

练习：解分式方程：．

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】两边都乘以最简公分母x(x－3)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．

【解题过程】解：两边都乘x(x－3)，

得2x＝3x－9

解得x＝9

检验：当x＝9时，x(x－3)≠0.所以，原分式方程的解为x＝9

【答案】x＝9

【设计意图】让学生了解分式方程增根的原因，明白解分式方程必须检验.

●活动2

  例2  解分式方程：

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】两边都乘以最简公分母(x－1)(x＋2)转化为整式方程，解整式方程得解，再检验．

【解题过程】解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得x＝1，

检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，因此x＝1不是原分式方程的解．

所以，原分式方程无解.

【答案】无解

练习：解方程：  

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，结果要检验．

【解题过程】解： 方程的两边同乘x2－4，得(x－2)2＋4＝x2－4，解得x＝3.

检验：当x＝3时，x2－4≠0，所以x＝3是原方程的解．

【答案】x＝3.

【设计意图】让学生按照规范的步骤和格式解分式方程，在积累解题经验的同时，体会化归思想和程序化思想.

●活动3

例3  当m为何值时，关于x的方程的解小于零．

【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解小于零 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.  

【解题过程】解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2)，得2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，

整理，得(1－m)x＝10，

解得x＝.

∵方程的解小于零，∴<0且≠－2.

解得m>1且m≠6.

【答案】m>1且m≠6.

练习： 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是___________．

【知识点】 分式方程的解法，不等式的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】去分母，把分式方程化为整式方程，再解这个整式方程，又因为方程的解为负数 ，所以转化为不等式，解不等式得结果.  

【解题过程】解：去分母，得(x－1)(x＋k)－k(x＋1)＝x2－1.整理，得x＝1－2k.

依题意，得  , 解得k＞且k≠1.

 【答案】k＞且k≠1.

【设计意图】 解题时让学生注意原方程分母不为零的这一隐含条件 .

3. 课堂总结

知识梳理

（1）分母中含未知数的方程叫做分式方程.

（2）解分式方程的基本思想：把分式方程“转化”为整式方程，再利用整式方程的解法求解.

（3）解分式方程的方法及一般步骤：

①去分母，方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；——化整

②解这个整式方程；——解整

③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．——验根

重难点归纳

（1）解分式方程的基本思想；

（2）解分式方程的方法及一般步骤；

（3）解分式方程过程中产生增根的原因： 在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．

（三）课后作业

基础型 自主突破

1．下列方程是分式方程的是(　　)

A. ＋＝1    B. ＋2x＝3    C. ＝2     D. －

【知识点】 分式方程的定义

【思路点拨】分母中含未知数的方程叫做分式方程.

【解题过程】解：A、B分母中没含有未知数，不是分式方程；D不是等式，所以不是分式方程；C是分式方程．故选C．

【答案】C．

2．解分式方程，正确的结果是（　　）

A．x=0    B．x=1    C．x=2     D．无解

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 

【解题过程】解：去分母得：1+x﹣1=0，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解，

故选A

 【答案】A.

3．将分式方程去分母，得到正确的整式方程是(　　)

A.1－2x＝3    B．x－1－2x＝3      C.1＋2x＝3      D．x－1＋2x＝3

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】两边都乘以(x－1)． 

【解题过程】解：去分母得：x－1－2x＝3，故选B

 【答案】B.

4．当a＝________时，关于x的方程的解为x＝0.

【知识点】 分式方程的解

【思路点拨】把x＝0代入分式方程可求解． 

【解题过程】解：把x＝0代入分式方程得，则a+5= -2(2a-3), 得a＝ 

【答案】.

5． 若式子和的值相等，则x＝________．

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】列分式方程，去分母，解整式方程可得． 

【解题过程】解：=，去分母得：2x+1=3（x-2），解得x=7，经检验x=7是原方程的解.

 【答案】7

6．解分式方程

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解，再代入x(x﹣3)进行检验即可． 

【解题过程】解：方程两边都乘以最简公分母x(x﹣3)得：4x﹣(x﹣3)=0，

解得：x=﹣1，经检验：x=﹣1是原分式方程的解故答案为：x=﹣1．

 【答案】x=﹣1．

能力型 师生共研

7．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　）

A．m＜    B．m＜且m ≠    C．m＞﹣     D． m＞﹣ 且m≠﹣

【知识点】 分式方程的解、分式方程解法.

【数学思想】化归思想.

【思路点拨】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案． 

【解题过程】解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9，

整理得：2x=﹣2m+9，解得：x= ，

∵关于x的方程的解为正数，

∴﹣2m+9＞0，解得：m＜，当x=3时，x==3，

解得：m=，故m的取值范围是：m＜且m≠．故选B．

【答案】B．

8．若关于x的方程无解，则m的值是______.

【知识点】 分式方程的解、分式方程解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】去分母把分式方程转化成整式方程，再利用分式方程无解，把增根代入整式方程，进而得出答案． 

【解题过程】解：去分母，得2－x－m＝2x－4，即3x＝6－m.

∵方程无解，∴x＝2.

把x＝2代入3x＝6－m，得m＝0.

【答案】0．

探究型 多维突破

9．小明解方程的过程如下：

解：方程两边同乘x得1－(x－2)＝1，①

去括号得1－x－2＝1，②

合并同类项得－x－1＝1，③

移项得－x＝2，④

解得x＝－2，⑤

∴原方程的解为x＝－2.⑥

请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．

【知识点】分式方程解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】按照解分式方程的步骤检查得出答案． 

【解题过程】

解：小明的解法有三处错误：

步骤①去分母有误；步骤②去括号有误；步骤⑥前少“检验”步骤．

正确解法是：方程两边同乘x，得1－(x－2)＝x，

去括号，得1－x＋2＝x，

移项，得－x－x＝－2－1，

合并同类项，得－2x＝－3，

两边同除以－2，得x＝.

经检验，x＝是原方程的解．

所以原方程的解是x＝.

10．请你仔细观察下述材料：方程的解为x＝1；方程的解为x＝2；方程的解为x＝3；….

(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并写出这个方程的解；

(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为x＝－5的分式方程．

【知识点】分式方程解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】观察总结规律，要从整体和部分两个方面入手，防止片面地总结，得出错误结论．

【解题过程】

解：(1) 方法一：分式方程中的四个分母都可看作是未知数与一个整数的差，这四个整数左边两个连续，右边两个连续，左右两边不连续，但只间隔一个整数，每个分式的分子都是1，方程的解正好是中间被省略的那个整数，

即，

方程的解是x＝n(n为整数)．

方法二：第(1)问的规律方程也可以写成：，

此时，方程的解应为x＝n＋2(n为整数)．

(2)将x＝－5代入上式，可得所求分式方程为.

自助餐

1．下列关于x的方程中,是分式方程的是(    )

A.  B. 
C.     D.  

【知识点】 分式方程的定义

【思路点拨】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．

【解题过程】解：A.方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B.方程分母含字母a，但它不是表示未知数，也不是分式方程；C.方程的分母中不含表示未知数的字母，不是分式方程；D.方程分母中含未知数x，是分式方程.故选D.

【答案】D．

2．分式方程的解为(　　)

A．3    B．－3    C．无解    D．3或－3

【知识点】 分式方程的解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】依据解分式方程的步骤可得．

【解题过程】去分母得12－2(x＋3)＝x－3，解得x＝3.经检验，当x＝3时，x2－9＝0，即x＝3不是原分式方程的解，故原方程无解．故选C.

【答案】C.

3．当a＝________时，关于x的方程的解与方程的解相同．

【知识点】方程的解、分式方程解法.

【数学思想】化归思想

【思路点拨】先解分式方程，再把它的解代入另一个分式方程可得结果．

【解题过程】解：由方程得x－4＝3x，解得x＝－2.当x＝－2时，x≠0，所以x＝－2是方程的解．又因为方程的解与方程的解相同，因此x＝－2也是方程的解．这时，解得a＝.

当a＝时，a－1≠0，故a＝ 满足条件．

【答案】.

4．若关于x的分式方程无解，则m的值为_______.

【知识点】方程的解、分式方程解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】先去分母得整式方程，再把增根代入整式方程可得结果．

【解题过程】解：方程两边都乘x－3，得x－2(x－3)＝m2.

∵原方程无解，∴x＝3.

把x＝3代入x－2(x－3)＝m2，得m＝±.

【答案】±.

5. 解分式方程：
【知识点】分式方程解法

【数学思想】化归思想

【思路点拨】方程两边同时乘以（2x+1）（2x-1），即可化成整式方程，解方程求得x的值，然后进行检验，确定方程的解．

【解题过程】解：原方程即，

两边同时乘以(2x+1)(2x−1)得：x+1=3(2x−1)−2(2x+1)，

x+1=6x−3−4x−2，

解得：x=6.

经检验：x=6是原分式方程的解。

∴原方程的解是x=6.

【答案】x=6.

6. 当m为何值时,关于x的方程会产生增根?

【知识点】分式方程的解

【数学思想】化归思想

【思路点拨】先去分母得2(x+2）+mx=3(x-2），整理得(m-1)x+10=0，由于关于x的方程会产生增根，则(x+2)(x-2)=0，解得x=-2或x=2，然后把x=-2和x=2分别代入(m-1)x+10=0即可得到m的值．

【解题过程】解：原方程化为，

方程两边同时乘以(x+2)(x−2),

得2(x+2)+mx=3(x−2)，

整理得(m−1)x+10=0，

∵关于x的方程 会产生增根，

∴(x+2)(x−2)=0，

∴x=−2 或x=2，

∴当x=−2时,(m−1)×(−2)+10=0，解得m=6，

当x=2时,(m−1)×2+10=0，解得m=−4，

∴m=−4或m=6时，原方程会产生增根.

【答案】当m=−4或m=6时，原方程会产生增根.