人教版 (五四制)八年级上册第二十一章 整式的乘法与因式分解21.3 因式分解优秀课件ppt

21.3 因式分解（第二课时）

21.3.2 公式法（1）

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握平方差公式的特点.

2.会运用平方差公式因式分解.

3.能熟练运用平方差公式和提公因式法分解因式.

（二）学习重点

 掌握平方差公式的特点，运用平方差公式进行因式分解.

（三）学习难点

  熟练运用平方差公式进行因式分解.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）因式分解中的平方差公式：

文字语言：两个数的平方差，等于这两个数的 和 与这两个数的 差 的积.

符号语言： . 其中a、b既可以是具体的数，也可以是 单项式、多项式 .

（2）平方差公式的特点：从多项式的项来看，它只有 两 项，都能写成两个数（或整式）的平方 的形式，且这两项的符号 相反 ，因式分解后写成这两个数（或整式）的和乘以这两个数的差.如：= .

2. 预习自测

（1）下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（   ）

A．      B．        C．          D．

【知识点】平方差公式

【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是：该多项式能否写成两个数（或整式）的平方差的形式.

【解题过程】A能写成 ，可以用平方差公式因式分解；B能写成，可以用平方差公式因式分解；C交换位置可得，能写成，可以用平方差公式因式分解；D是平方和的形式，不能用平方差公式因式分解.故选D.

【答案】D

（2）下列因式分解正确的是（   ）

A．            B．       

C．           D．

【知识点】用平方差公式分解因式．

【思路点拨】用平方差公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合平方差公式的特点，并能写出该多项式能写成哪两个数（或整式）的平方的形式，最后写成这两个数（或整式）的和乘以这两个数（或整式）的差.

【解题过程】选项A的错误是 应表示 ；选项B不能进行因式分解，注意若无特殊说明，因式分解时应在有理数范围类进行；选项D应该为，注意辨析公式中的a，b；选项C正确.

【答案】C

（3）因式分解： =                    .

【知识点】用平方差公式分解因式．

【数学思想】整体思想

【思路点拨】将中的看成一个整体，相当于公式中的a，4写成，所以公式中的b即为2，直接用平方差公式分解即可.

【解题过程】

【答案】

（4）因式分解： =                    .

【知识点】平方差公式和提公因式法分解因式．

【思路点拨】观察此多项式发现有公因式x，所以应先提公因式，得，此时还可以用平方差公式进行因式分解，注意将因式分解进行到底.

【解题过程】

【答案】

（二）课堂设计

1.知识回顾

把下列各式因式分解：

（1） ；  （2）.

学生回答：（1） ；（2）.

2.问题探究

  探究一 探索因式分解的方法——平方差公式.

●活动①  比一比，算一算

与老师比一比，看谁算得又对又快！

（1） ；（2）； （3） .

教师一口答出各题答案（1）49；（2）10；（3） .

此时学生可能会产生怀疑，教师应立即让学生现场出类似的计算题，教师再回答，激发学生求知欲.

【设计意图】对于这类计算题，学生已在七年级就会解决，学生一般按先平方再算减法的顺序进行，还不能简便计算，而教师利用平方差公式先因式分解再计算，速度较快，这样会激发学生的求知欲，调动学习积极性.为本节课的学习创造积极氛围，同时也为学习平方差公式的特点提供感性认识.

●活动②   探索平方差公式.

 教师：通过前面的学习我们已知道因式分解与整式的乘法是互逆变形的关系，请大家计算下列各题：

（1） ；（2）

学生独立完成：（1） ；（2）

追问：逆向思维，你能将（1） ；（2） 因式分解吗？

学生思考后回答：（1）；（2）.

教师：我们将整式乘法中的平方差公式 等号两边互换位置，就得到：，即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.这样我可利用此平方差公式对某些特殊的多项式进行因式分解.

【设计意图】通过具体问题的解决，让学生在观察、思考过程中，发现将整式乘法中的平方差公式 等号两边互换位置，就得到：，利用平方差公式可以把某些特殊形式的多项式分解因式，从而自然得到因式分解的又一种方法——运用公式法.

●活动③   剖析平方差公式

讨论：平方差公式有什么特点？

学生独立思考后，分小组讨论，再归纳总结.

平方差公式的特点：等号左边，从多项式的项来看，它只有两项，都能写成两个数（或整式）的平方的形式，且这两项的符号相反，等号右边，因式分解后写成这两个数（或整式）的和乘以这两个数的差.

特别提醒：公式中的a、b可以代表多项式.

【设计意图】运用平方差公式因式分解，则该多项式必须满足平方差公式的条件，因此掌握平方差公式因式分解的先决条件是先判断该多项式是否能运用平方差公式.通过对平方差公式的剖析，使学生掌握公式的特点，为正确运用公式进行因式分解奠定基础.

探究二  直接运用平方差公式因式分解  ★ ▲

●活动①  铺路之石

你能将下列多项式变形为的形式吗？

（1） ；（2） ；（3） ；（4） .

学生独立思考后小组讨论，再集体订正.

答案：（1）；（2）；（3）不能；（4）

【设计意图】让学生将多项式变形为平方差公式的形式，进一步掌握平方差公式的特点，为顺利进行因式分解铺路.

●活动② 公式中的a、b代表单项式的因式分解

 例1 分解因式：

（1） ；（2） .

学生尝试后回答，教师巡视帮助,特别关注学生是否能正确变形，将原多项式写成的形式，尤其是第（2）题，需正确辨析公式中的a、b.

【知识点】运用平方差公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）

【思路点拨】（1）先将原多项式变形为，认清谁是公式中的a、b，再进行因式分解 ；（2）可将多项式的两项交换位置，变形为，再因式分解.

【答案】 （1）（2）.

练习：因式分解（1） ；（2）

【知识点】运用平方差公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）

【思路点拨】（1）先将原多项式变形为，认清谁是公式中的a、b，再进行因式分解 ；（2）可将多项式的两项交换位置，变形为，再因式分解.

【答案】 （1）（2）.

●活动③   公式中的a、b代表多项式的因式分解

例2 分解因式：

（1） ；（2） .

【知识点】运用平方差公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】

（1）` ；

（2）

【思路点拨】在（1）中，把x+p和x+q各看成一个整体，相当于x+p=a，x+q=b，则原式可化利用平方差公式进行因式分解；在（2）中将化成，把看成一个整体，相当于公式中的a，再因式分解.

【答案】 （1）（2）.

练习：分解因式（1） ；（2）

【知识点】运用平方差公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】

（1）` ；

（2）

【思路点拨】在（1）中，把a-b看成一个整体，则原式可化利用平方差公式进行因式分解；在（2）中将化成，把看成一个整体，相当于公式中的a， 5(a-b)看成一个整体，相当于公式中的b，再因式分解. 注意：分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要合并同类项，直至分解到不能再分解为止.

【答案】 （1）（2）.

探究三   综合应用  ★ ▲

●活动①

例3   分解因式：

（1） ；（2） .

【知识点】运用提公因式法、平方差公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）.

【思路点拨】对于（1），可以写成的形式，这样就可以运用平方差公式进行因式分解了，注意继续将分解因式；对于（2），有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解.

【答案】（1）；（2）.

练习：把下列各式分解因式：

（1） ；（2）；

【知识点】运用提公因式法、平方差公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）.

【思路点拨】对于（1），可以写成的形式，这样就可以运用平方差公式进行因式分解了，注意继续将分解因式；对于（2），有公因式2a，应先提公因式，再进一步分解.

【答案】（1）；（2）

●活动② 比一比，算一算

  教师：大家现在知道刚才“比一比，算一算”环节中，老师为什么能较快计算结果了吗？

计算：（1） ；（2）

【答案】（1）4.76；（2）5600

【设计意图】此环节与引入环节相呼应，学习了运用平方差公式进行因式分解后，可利用因式分解将某些特殊的计算题进行简化运算.渗透学生的数学运用意识.

3. 课堂总结

知识梳理

（1）因式分解中的平方差公式：

两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.

符号语言： .其中a、b既可以是具体的数，也可以是单项式、多项式 .

（2）平方差公式的特点：从多项式的项来看，它只有两项，都能写成两个数（或整式）的平方的形式，且这两项的符号相反，因式分解后写成这两个数（或整式）的和乘以这两个数的差.

重难点归纳

（1）平方差公式使用的条件是：此多项式是两项的差的形式，而且这两项都可以写成一个数或整式的平方的形式. .其中a、b既可以是具体的数，也可以是单项式、多项式 .

（2）当多项式的两项是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行去括号化简，若有同类项，要合并同类项，直至分解到不能再分解为止.

（3）因式分解时应先观察是否有公因式，若有，应先提公因式，再运用平方差公式分解因式.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ）

A．       B．        C．          D．

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是：该多项式能否写成两个数（或整式）的平方差的形式.

【解题过程】A两项的符号相同，不能分解；B两项的符号相同，不能分解； C交换位置可得，能写成，可以用平方差公式因式分解；D第二项不是平方项，不能用平方差公式因式分解.故选C.

【答案】C

2.将多项式分解因式，结果正确的是（    ）

A．           B．  

C．               D．

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】观察该多项式能写成两项的平方差的形式，即 ，可用平方差公式进行因式分解，注意分解彻底.

【解题过程】 ，故选D

【答案】D

3. 计算 ，结果正确的是（    ）

A．70     B．700       C．7000     D．4900

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】直接利用平方差公式可使计算简化.

【解题过程】， C正确.

【答案】C

4.若a+b=3，a−b=5，则 的值为（    ）

A．15        B．−15         C．8           D．−8

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】根据平方差公式可将分解因式，再将已知条件代入求值即可，注意a−b与b−a的关系.

【解题过程】，∵a+b=3，a−b=5，∴ 故选B

【答案】B

5. 把下列各式进行因式分解：

  （1）=                ； （2）=                 ；

（3）=_________        ；

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】注意将多项式写成两个数的平方的形式，找准公式中的a、b进行因式分解.

【解题过程】（1）；

（2）；

（3）

【答案】（1）；（2）；（3）.

6. 已知 ，则的值为_____________.

【知识点】平方差公式，非负性的运用

【思路点拨】由任何数的平方具有非负性，且可得x+y=5，x−y=-2，再将多项式分解因式，代入计算即可.

【解题过程】解：∵，，且，∴x+y=5，x−y=-2，∴.

【答案】−10.

能力型 师生共研

7. 若a是整数，则 一定能（   ）.

A．被6整除     B．被5整除      C．被4整除     D．被3整除

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】先将多项式进行因式分解，再观察该多项式能写成哪些数的积的形式，即可判断能被谁整除.

【解题过程】，故该多项式能被4整除，选C.

【答案】C

8. 将下列各式因式分解：

（1）；   （2）；   (3) ；（4） ；

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】注意将多项式写成两个数的平方的形式，找准公式中的a、b进行因式分解,多项式中有公因式时，要先提公因式再分解，还需注意分解彻底.

【解题过程】

（1）.

（2）；

（3）

(4)

【答案】（1）；（2）；（3）；

(4)

探究型 多维突破

9.已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足，则△ABC的形状是           .

【知识点】平方差公式因式分解，三角形的分类

【思路点拨】已知三角形的三边满足，判断三角形的形状，显然是将三角形按边分类，则应得到边的具体关系，所以应将等式 变形解决.

【解题过程】解：∵，∴ ，∴，即，则，又∵>0，∴，且a、b均为正数，所以a=b.故三角形为等腰三角形.

【答案】等腰三角形.

10.阅读题：对于式子 ，我们可以写成 ，由平方差公式可知：，我们把这种变形方法称为对在实数范围内进行因式分解.根据此介绍，请将下列各式在实数范围内进行因式分解：

（1） ；（2） ；（3）

【知识点】运用平方差公式因式分解

【思路点拨】在实数范围内因式分解的关键是将有理数正确地写成一个数的平方的形式，在利用平方差公式分解因式.

【解题过程】解：（1） ；

（2） ；

（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

自助餐

1. 下列各式能用平方差公式分解因式的有（    ）

① ；② ；③ ；④

A.  1个          B.  2个         C. 3个      D. 4个  

【知识点】平方差公式

【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是：该多项式能否写成两个数（或整式）的平方差的形式.

【解题过程】①中两项的符号相同，不能分解；②交换位置可得，可以用平方差公式因式分解；③中两项的符号相同，不能分解； ④可写成，能用平方差公式因式分解.故选B.

【答案】B

2.  将多项式分解因式，结果正确的是（    ）

A．       B．      C．     D．

【知识点】平方差公式分解因式

【思路点拨】观察多项式，先确定是否有公因式可提，再考虑用平方差公式进行因式分解.

【解题过程】，故选C

【答案】C

3. 已知 ，则的值为（   ）.

A．0       B．1         C．3         D．4

【知识点】平方差公式分解因式

【解题过程】解：，∵，

∴，∴原式=1.

【思路点拨】先将多项式的前两项分解因式，再将代入计算，又可变出，从而解决问题.

【答案】B.

4.运用因式分解计算.

【知识点】平方差公式因式分解的运用

【思路点拨】已知式子可先想是否能用平方差公式进行因式分解，即能否直接写出两个数的平方的形式，显然可以，问题即可解决.

【解题过程】方法一：，

方法二：.

【答案】120000．

5.分解因式：

（1）；（2） ； （3）； （4）  

【知识点】平方差公式因式分解

【思路点拨】注意将多项式写成两个数的平方的形式，找准公式中的a、b进行因式分解,多项式中有公因式时，要先提公因式再分解，还需注意分解彻底.

【解题过程】（1）；

（2） ；

（3）；

（4）；

【答案】（1）；（2）；（3）.

（4）.

6.老师在黑板上写出三个算式： ， ，，小明又写出具有同样规律的式子： ， ... 

（1）请你再写一个具有上述规律的式子；

（2）用文字描述上述算式的规律，并证明.

【知识点】平方差公式因式分解，规律寻找

【数学思想】特殊到一般

【思路点拨】根据算式的特点，发现这些式子都是两个奇数的平方，将算式进行因式分解简化运算后，发现每个式子的结果都有一个因数为8，则说明这些算式的结果都能被8整除．再将具体的数变为代数式证明即可.

【解题过程】解：（1）如： ，答案不唯一；

（2）任意两个奇数的平方差能被8整除；

证明:设m,n为整数,两个奇数可表示2m+1和2n+1,
则.
当m,n同是奇数或偶数时,(m-n)一定为偶数,所以4(m-n)一定是8的倍数.
当m,n一奇一偶时,则(m-n+1)一定为偶数,所以4(m-n+1)一定是8的倍数.
所以,任意两奇数的平方差是8的倍数.

【答案】（1）如： ，答案不唯一；（2）任意两个奇数的平方差能被8整除.