初中数学人教版 (五四制)八年级上册21.3 因式分解公开课课件ppt

21.3 因式分解（第三课时）

21.3.2 公式法（2）

一、教学目标

（一）学习目标

1.掌握完全平方公式的特点.

2.会运用完全平方公式因式分解.

3.能熟练运用公式法和提公因式法分解因式.

（二）学习重点

掌握完全平方公式的特点，运用完全平方公式分解因式.

（三）学习难点

 灵活运用公式分解分解因式.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）完全平方式：

形如和的式子叫完全平方式. 它的特点是：①完全平方式是一个二  次 三 项式；②首末两项是两个数（或整式）的 平方 ，而且符号 相同 ，中间相是这两个数（或整式）的 积的2倍 ，符号正负均可.

（2）用完全平方公式分解因式：

文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

符号语言：；.

（3）公式法：把乘法公式的等号两边 互换位置  ，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.

2. 预习自测

（1）下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是（   ）

A．      B．        C．          D．

【知识点】完全平方公式

【思路点拨】判断一个多项式是否能用平方差公式因式分解的关键是该多项式是否为完全平方式，它应具有以下特点：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同 ，中间项是这两个数（或整式）的积的2倍.

【解题过程】A只有两项 ，不能用完全平方公式因式分解；B首末两项的符号不同，不能用完全平方公式因式分解；C的中间项不是a、b的2倍，不能用完全平方公式因式分解；D能.故选D.

【答案】D

（2）把多项式 因式分解正确的是（   ）

A．            B．       

C．           D．

【知识点】用完全平方公式分解因式．

【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.

【解题过程】，选项C正确.

【答案】C

（3）若多项式 是完全平方式，则k的值为                     .

【知识点】完全平方式．

【思路点拨】用完全平方式的特点来分析该多项式，关键是注意中间项应是首末积的2倍，同时它的符号正负均可.

【解题过程】∵是完全平方式，∴，则 .

【答案】±2

（4）因式分解：① ；②

【知识点】用完全平方公式分解因式．

【思路点拨】用完全平方公式分解因式时，关键是识别该多项式是否符合完全平方公式的特点，并能确定是哪两个数（或整式）的和（或差）的平方.公式中三项的位置是可以调换的.

【解题过程】①；

②.

【答案】①；②.

（二）课堂设计

1.知识回顾

把下列各式因式分解：

（1）；  （2）.

学生独立完成后回答：

（1）.  （2）

做后强调：分解因式时有时要考虑综合运用各种方法，一般先观察是否有公因式可提，再考虑能否用平方差公式分解；分解因式要彻底，一直到不能分解为止.

2.问题探究

  探究一 探索因式分解的方法——完全平方公式.

●活动①  类比学习

问题1：上节课我们将乘法公式中的平方差公式等号两边互换位置得到因式分解的又一种方法：运用平方差公式分解因式，类似地，乘法还有完全平方公式，你能类比学习得到因式分解的新方法吗？

学生回顾乘法中的完全平方公式： ；.

互换位置可得：；

问题2：类比平方差公式，你能用语言叙述该公式吗？

文字语言：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

问题3：运用完全平方公式分解因式时，最后分解为和的完全平方还是差的完全平方，有谁来决定？

学生思考后分小组讨论交流：由2倍项的符号来确定，若2倍项的符号为正，则分解为和的完全平方，若2倍项的符号为负，则分解为差的完全平方.

【设计意图】本节课的学习是在学生已掌握运用平方差公式分解因式的基础上进行的，学生已掌握运用因式分解与整式乘法的互逆关系可得到运用平方差公式分解因式的方法，因此根据这样的经验，类比学习得到运用完全平方公式分解因式就迎刃而解了.

●活动②   剖析完全平方公式.  ★

问题4：我们将形如和的式子叫完全平方式.完全平方式有哪些特点呢？

学生思考后分小组讨论，再归纳总结：

完全平方式的特点是：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间相是这两个数（或整式）的积的2倍 ，符号正负均可.

口诀：首平方，末平方，首末积的2倍中间放.

追问：平方差公式中的a、b可代表多项式，类似地，完全平方公式中的a、b是否也可以代表一个多项式呢？

【设计意图】类比平方差公式分解因式的学习过程，剖析完全平方式的特点，为熟练运用完全平方公式分解因式奠定基础.

●活动③   辨析完全平方公式

问题5：下列多项式中，哪些是完全平方式？若是完全平方式，请指出谁相当于公式中的a、b.

（1） ；（2） ；（3） ；（4）

学生独立思考后，集体订正.

【设计意图】通过辨析完全平方式，为运用完全平方式分解因式作准备.尤其是对于（2）、（3）这种形式的完全平方式，学生辨析较困难，关键是掌握：完全平方式首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，各项的位置是可以调换的，为本节课突破难点奠定基础.

探究二  直接运用完全平方公式因式分解  ★

●活动①  公式中的a、b代表单项式的因式分解

例1 分解因式：

（1） ；（2）

【知识点】运用完全平方公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）

【思路点拨】（1）先将原多项式变形为，认清谁是公式中的a、b，再进行因式分解 ；（2）可将负号提出是本题的关键，变形为，再因式分解.

【答案】 （1）；（2）.

练习：因式分解（1）   （2）

【知识点】运用完全平方公式分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）

【思路点拨】（1）先将原多项式变形为，辨析公式中的a、b，再进行因式分解 ；（2）将负号提出是本题的关键，变形为，再因式分解.

【答案】 （1）；（2）.

●活动② 公式中的a、b代表多项式的因式分解

 例2 分解因式：

（1） ；（2） .

【知识点】运用完全平方公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）；

（2）.

【思路点拨】此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原多项式就化为 ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后有同类项还需合并同类项.

【答案】 （1）；（2）.

练习：因式分解（1） ；（2）

【知识点】运用完全平方公式分解因式

【数学思想】整体思想

【解题过程】解：（1）；

（2）.

【思路点拨】解此类题的关键是整体思想的运用，（1）中将b+c看成一个整体，设b+c=m，则原多项式就化为 ，可用完全平方公式分解因式；（2）类似，注意分解后还需继续利用完全平方公式分解彻底.

【答案】 （1）；（2）.

探究三   综合应用  ★ ▲

●活动①

例3   分解因式：

（1） ；（2） ；（3） .

【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）.

（3）

【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式3a，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将 展开后，与2ab，合并同类项方可进行. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.

【答案】（1）；（2）；（3）

题后反思：

（1）把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.

（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查

①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可套用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.注意：有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.

练习：把下列各式分解因式：

（1） ；（2）；（3）

【知识点】运用提公因式法、公式法分解因式

【解题过程】解：（1）；

（2）；

（3）

【思路点拨】对于（1），关键是先提公因式axy，之后才能运用完全平方公式分解因式；对于（2），观察式子后发现不能直接进行因式分解，需将多项式变形后，再进行因式分解. 对于（3）应先运用平方差公式分解因式，再继续用完全平方公式分解，注意分解彻底.

【答案】（1）；（2）；（3）

●活动② 因式分解的运用

例4 计算：（1） ；（2）

【知识点】运用因式分解简化运算

【解题过程】解：（1）；

（2）；

【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.

【答案】（1）4；（2）20000.

练习：计算（1） ；（2）

【知识点】运用因式分解简化运算

【解题过程】

解：（1）；

（2）；

【思路点拨】此类题的关键是将算式进行适当变形，变为完全平方式的形式，这样即可运用完全平方公式进行因式分解，从而达到简化运算的目的.

【答案】（1）1；（2）90000.

3. 课堂总结知识梳理

（1）完全平方式：

形如和的式子叫完全平方式. 

（2）用完全平方公式分解因式：

文字语言：两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

符号语言：；.

（3）公式法：把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫公式法. 如：利用平方差公式和完全平方公式分解因式都属于公式法.

重难点归纳

（1）完全平方公式使用的条件是：①多项式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积2倍，符号正负均可.

（2）分解因式的一般步骤：一提，二套，三检查

①观察多项式的各项是否有公因式，若有，应先提公因式；②再观察多项式是否可以用平方差公式或完全平方公式进行分解因式；③检查每个多项式是否分解彻底，每个多项式都不能分解时，分解因式就结束了.

（3）有时多项式既不能提公因式，也不能运用平方差或完全平方公式分解，则需根据多项式的特点作适当变形后再进行因式分解.

（三）课后作业

基础型 自主突破

1.下列多项式是完全平方式的是（   ）

A．       B．        C．          D．

【知识点】完全平方式

【思路点拨】完全平方式具有以下特点：①完全平方式是一个二次三项式；②首末两项是两个数（或整式）的平方，而且符号相同，中间项是这两个数（或整式）的积的2倍.用此特点逐一判断.

【解题过程】A首末两项的符号不同，不是完全平方式；B的中间项不是首末积的2倍，不是完全平方式； C的中间项不是首末积的2倍，不是完全平方式；D是完全平方式.

【答案】D

2.已知 是完全平方式，则m的值为（    ）

A．1        B．2        C．1        D．2

【知识点】完全平方式

【思路点拨】根据完全平方式的特点，该多项式的中间项 应是首末积的2倍，注意：中间项系数的符号可以是正，也可以是负.

【解题过程】∵，∴，∴m=，故选D

【答案】D

3. 计算x=156，y=144，则 的值是（    ）

A．150     B．450       C．45000    D．90000

【知识点】因式分解简化运算

【思路点拨】直接计算较复杂，可利用完全平方公式先因式分解再算可使计算简便.

【解题过程】，∵x=156，y=144，∴原式= ，故选C.

【答案】C

4.分解因式 的结果是（    ）

A．        B．       C．        D．

【知识点】完全平方公式分解因式

【数学思想】整体思想

【思路点拨】把看成一个整体，直接运用完全平方公式分解因式即可.

【解题过程】. 故选D

【答案】D

5. 计算： =_____________.

【知识点】因式分解简化运算

【思路点拨】直接计算较复杂，观察式子特点，可先将式子变形为完全平方式的形式，利用因式分解使计算简便.

【解题过程】；

【答案】40000

6. 把下列各式进行因式分解：

  （1）； （2）；（3）；  （4）.

（5）

【知识点】提公因式和公式法分解因式

【思路点拨】观察多项式的特点，正确选用方法进行因式分解是关键，一般按照先找公因式，再套用公式的方法进行，注意分解彻底.

【解题过程】（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）.

【答案】（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）.

能力型 师生共研

7. 若 ，则 的值为（   ）.

A．4       B．2        C． 2        D． 4

【知识点】完全平方公式分解因式，非负性的运用

【思路点拨】先将多项式进行因式分解，再根据任何数的平方具有非负性解决问题.

【解题过程】∵∴，∴，则，又∵，∴.选B.

【答案】B

8. 已知△ABC三边a、b、c满足等式，则△ABC是       三角形.

【知识点】完全平方公式分解因式，非负性运用，三角形的分类

【思路点拨】已知三角形的三边满足，判断三角形的形状，显然是将三角形按边分类，则应得到边的具体关系，所以应将等式 的左边因式分解，再根据非负性解决.

【解题过程】解：∵，∴ ，

∴，即，

又∵，∴， ， ，

∴.故三角形为等边三角形.

【答案】等边三角形.

探究型 多维突破

9.已知 ，求x、y的值.

【知识点】完全平方公式分解因式，非负性的运用

【思路点拨】观察等式左边，将13分成两个平方数的和，即13=4+9，可以凑成两个完全平方式，因式分解后能得到两个式子的平方和为0，再根据非负性即可解决问题.

【解题过程】解：∵，∴ ，∴，∴即，∴ ， .

【答案】 ， .

10.阅读题：我们已知道 和.于是在实数范围内分解二次三项式 时可采用如下方法 ：

像这样，先添一个适当的项，使原多项式出现完全平方式，再减去所添的项多项式的值保持不变，这样的方法称为配方法.请利用此方法在实数范围内分解因式：

（1） ；（2）

【知识点】运用平方差公式、完全平方公式分解因式

【思路点拨】此类题的关键是根据完全平方式的特点，由首项和中间项确定加上一个常数，凑成完全平方式，再减去这个常数，从而不改变式子的值，变形后再运用平方差公式和完全平方公式分解因式.

【解题过程】

解：（1） ；

（2）   ；

【答案】（1）；（2）.

自助餐

1. 下列各式能用完全平方公式分解因式的有（    ）

① ；② ；③ ；④

A.  1个          B.  2个         C. 3个      D. 4个 

【知识点】完全平方公式

【思路点拨】判断一个多项式是否能用完全平方公式因式分解的关键是：该多项式能否写成两个数（或整式）的平方和，并加上（或减去）这两个数（或整式）的积的2倍的形式.

【解题过程】①应用平方差公式分解；②能变形为，可以用完全平方公式因式分解；③中中间项的不是首末积的2倍，不能分解； ④可提负号变形为，是完全平方式，所以能用完全平方公式因式分解.故选B.

【答案】B

2.  下列因式分解正确的是（    ）

A．       B．    

 C．                   D．

【知识点】因式分解

【思路点拨】利用因式分解的一般步骤逐一检验，特别注意检查因式分解是否彻底.

【解题过程】A项分解不彻底，应该为；B项不能分解，可计算的值，发现与左边不等；D项运用平方差公式分解为；故选C.

【答案】C

3. 已知 ， 则           .

【知识点】提公因式、公式法分解因式

【解题过程】解：，∵ ，，

∴原式=.

【思路点拨】先将多项式的前两项分解因式，再将代入计算，又可变出，从而解决问题.

【答案】18.

4.若多项式 能用完全平方公式分解因式，则m的值为           .

【知识点】完全平方式

【思路点拨】根据完全平方式的特点，该多项式的中间项 应是首末积的2倍，注意：中间项系数的符号可以是正，也可以是负.

【解题过程】∵，∴，∴m=

【答案】

5.分解因式：

（1）；（2） ； （3）；

（4） ；  （5） ；（6） .

【知识点】提公因式和公式法分解因式

【思路点拨】观察多项式的特点，正确选用方法进行因式分解是关键，一般按照先找公因式，再套用公式的方法进行，注意分解彻底.

【解题过程】（1）；

（2） ；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

（4）；（5）；（6）.

6.下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程：

解：设 = y，则原式= （第一步）

                        = （第二步）

                        = （第三步）

                        = （第四步）

（1）该同学第二步到第三步运用                     公式因式分解；

（2）该同学因式分解是否正确？若不正确，请写出正确的结果.

（3）请你模仿以上方法尝试对多项式 进行因式分解.

【知识点】用公式法因式分解

【数学思想】整体换元思想，类比思想

【思路点拨】对于（1），观察第二步到第三步的结果，结合完全平方公式的特征即可得到答案；对于（2），观察该同学的分解结果，还可继续使用完全平方公式分解，自己试着写出最终的分解结果；对于（3），仿照前面的方法可设x2-4x=y，则原式=(y+2)(y+6)+4，展开后利用完全平方公式进行因式分解，再将y换元继续分解，即可完成解答，注意分解要彻底.

【解题过程】（1）完全平方公式；

（2）不正确；还需将继续分解因式，正确答案为

（3）解：设 = y，

则原式=

              =

              =

              =

              =

【答案】（1）完全平方公式；（2）不正确；正确答案为；（3）.