人教版八年级下册16.1 二次根式当堂达标检测题

初二数学人教版下册春季班

第1讲  二次根式

知识点1 二次根式的概念

二次根式的概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

注意：①“”称为二次根号；

②a（a≥0）是一个非负数．

【典例】

例1（2020春•赣榆区期末）若为二次根式，则m的取值范围是（　　）

A．m＜3 B．m≤3 C．m≥3 D．m＞3

例2 （2020春•海淀区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【随堂练习】

1．（2020春•文登区期中）在式子，（x＞0），，（y＝﹣2），（x＞0），，，x+y中，二次根式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．（2020春•麻城市校级月考）当x＝　　时二次根式有最小值．

知识点2 二次根式有意义的条件

二次根式有意义的条件

判断二次根式有意义的条件：

（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．

（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．

（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．

【典例】

   例1（2020秋•辉县市期中）如果实数x、y满足y2，求x+3y的平方根．

   例2（2020秋•温江区校级月考）已知a，b是有理数，若，

   求ab的平方根．

【随堂练习】

1．（2020秋•卧龙区期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　　．

2．（2020秋•金牛区校级期中）若y2，则xy的值为　　．

知识点3 二次根式的性质与化简

二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①≥0； a≥0（双重非负性）．

②=a（a≥0）．

③=|a|=

（2）二次根式的化简：

①利用二次根式的基本性质进行化简；

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．=• (a≥0，b≥0)，= (a≥0，b＞0)

（3）化简二次根式的步骤：

①把被开方数分解因式；

②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【典例】

例1（2020秋•射洪市期中）把（2﹣x）的根号外的（2﹣x）适当变形后移入根号内，得（　　）

A． B． C． D．

 例2（2020秋•海淀区校级月考）已知|x+2|+|1﹣x|＝9，则x+y的最小值为　　．

【随堂练习】

1．（2020春•自贡月考）如图，字母b的取值如图所示，化简：|b﹣1|　　．

2．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知点P（m+2，8﹣m）在第四象限，化简|m+2|的结果为　　．

知识点4 二次根式的乘除法

1．最简二次根式

最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号．我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．

如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a²、（x+y）²、x²+2xy+y²等．

2．二次根式的乘除法

（1）积的算术平方根性质：=•（a≥0，b≥0）

（2）二次根式的乘法法则：•=（a≥0，b≥0）

（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）

（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）

规律方法总结：

在使用性质•=（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．

3．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化，分子、分母常常是同时乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：①==；②==．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个二次根式的有理化因式不止一个．例如：2﹣的有理化因式可以是2+，也可以是a（2+），这里的a可以是任意有理数．

【典例】

例1（2020秋•龙岗区校级期中）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　）

A． B． 

C．（a＞0，b＞0） D．（a≥1）

例2（2020秋•松江区期中）计算：•．

 例3 （2020春•庐阳区校级月考）善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：

①．  ②．

请解决以下问题：

（1）请仿照①、②，再举一个例子：　　；

（2）猜想：当a≥0，b≥0时，与、之间的大小关系：　　；

（3）运用以上结论，计算：的值．

例4（2020秋•商河县期中）阅读下面计算过程：；

请解决下列问题

（1）根据上面的规律，请直接写出　　．

（2）利用上面的解法，请化简：．

（3）你能根据上面的知识化简吗？若能，请写出化简过程．

【随堂练习】

1．（2020春•江岸区校级月考）下列二次根式，其中是最简二次根式有（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．（2020秋•静安区校级期中）计算：3（﹣2）•．（a＞0）

3．（2020春•珠海校级期中）你能找出规律吗？

（1）计算：　　，　　；　　，　　．

结论：　　；　　．（填“＞”，”＝”，“＜”）．

（2）请按找到的规律计算：

①；

②．

（3）已知：a，b，则　　（可以用含a，b的式子表示）．

4．（2020秋•埇桥区期中）阅读下列解题过程：

；

．

请回答下列问题：

（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．

①　　；②　　；

（2）应用：求的值；

（3）拓广：　　．

知识点5 二次根式的加减法

1．同类二次根式

同类二次根式的定义：

　　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

合并同类二次根式的方法：

只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．

【知识拓展】同类二次根式

（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．

（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．

（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．

2．二次根式的加减法

（1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．

（2）步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．

③合并被开方数相同的二次根式．

3．二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．

【典例】

例1（2020春•青山区校级月考）若最简二次根式和可以合并，则m的值是（　　）

A． B． C．7 D．

例2（2020春•安庆期中）计算：2．

例3 （2020春•余干县校级期末）计算：．

【随堂练习】

1．（2020秋•洛宁县月考）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为　　．

2．（2020秋•杨浦区期中）二次根式、中与是同类二次根式的是　　．

3．（2020•竹溪县校级模拟）计算：|1|．

4．（2020春•恩平市期中）计算：．

知识点6 二次根式化简求值

二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．

【典例】

例1 （2020秋•锦江区校级月考）已知x，y；

（1）求x+y、xy的值；

（2）求2x2+2y2﹣xy的值．

例2（2020秋•郓城县期中）已知x＝23，y＝23，求x2y+xy2的值．

【随堂练习】

1．（2020秋•嘉定区期中）已知，求代数式4x2﹣8xy+4y2的值．

2．（2020秋•浦东新区期中）化简求值：已知a，b，求[（）]•（）的值．

   综合运用

1．（2020春•丛台区校级月考）下列各组二次根式，属于同类二次根式的是（　　）

A．与 B．与 C．与 D．与

2．（2020春•兰陵县期末）若a＝2，b＝2，则ab＝（　　）

A．1 B．2 C． D．2

3．（2020春•广陵区校级期中）当x　　时，是二次根式．

4．（2020春•微山县期末）计算：．

5．（2020春•崇川区校级期末）已知a、b满足b4，求3b﹣2a的平方根．

6．（2020秋•大同区校级期中）当x的取值范围是不等式组的解，试化简：（）2x．

7．（2020秋•新都区月考）已知：a2，b2，求代数式（a﹣3）（b﹣3）﹣（a2+b2）的值．

8．（2020•唐山二模）阅读下列材料，然后回答问题．

在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

（1）化简

（2）化简．

（3）化简：．