初中数学人教版八年级下册16.1 二次根式精品课后作业题

16.3 二次根式的加减

同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

同类二次根式合并的方法：将系数相加减，被开方数和二次根式部分不变。

二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式进行合并，不能合并的直接抄下来。

【口诀】一化、二找、三合并。

二次根式比较大小：1）若，则有；

2）若，则有；

3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。

二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再算乘方（开方），再算乘除，最后再算加减。

【注意】运算结果含根号的必须为最简二次根式。

【题型一】同类二次根式的判断

【典题1】（2022秋·北京顺义·八年级北京市顺义区仁和中学校考期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；

B.，与不是同类二次根式；

C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；

D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．

故选：C．

巩固练习

1．（）（2022秋·福建三明·八年级统考期中）下列二次根式中，不能与合并的是（　　）

A． B． C． D．

【详解】解：A、，故不能与合并，符合题意；

B、，故能与合并，不符合题意；

C、，故能与合并，不符合题意；

D、，故能与合并，不符合题意；

故选：A．

2．（）（2022春·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）下列二次根式中，不能与合并的是(　 　)

A．2 B． C． D．

【详解】A选项中，因为与是同类二次根式，所以两者可以合并；

B选项中，因为，与是同类二次根式，所以两者可以合并；

C选项中，因为，与不是同类二次根式，所以两者不能合并；

D选项中，因为，与是同类二次根式，所以两者可以合并.

故选C.

【题型二】已知同类二次根式求未知数的值

【典题1】（2022秋·江苏苏州·八年级统考期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（    ）

A．2 B．4 C．-1 D．1

【详解】解：由题意，得：

1+2a=3，

解得a=1，

故选：D．

巩固练习

1．（）（2022春·山东德州·八年级校联考期中）如果最简二次根式与能够合并，那么a的值为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【详解】根据题意得，3a-8=17-2a，

移项合并，得5a=25，

系数化为1，得a=5．

故选D．

2．（）（2022春·山东东营·八年级校考期中）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．

【详解】解：∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，

∴a+1=3，解得：a=2．

故答案为2．

3．（）（2022秋·上海·八年级期末）若二次根式与是同类二次根式，则整数可以等于___________．（写出一个即可）

【详解】解：∵二次根式与是同类二次根式，

∴可设，

则，

∴，

解得，

故答案为：3（答案不唯一）．

4．（）（2022秋·上海·八年级上海交大附中校考期中）若最简二次根式与是同类根式，则2a﹣b＝___．

【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式，

∴2a﹣4＝2，3a+b＝a﹣b，

解得：a＝3，b＝﹣3．

∴2a﹣b＝2×3﹣（﹣3）＝9．

故答案为：9．

5．（）（2022春·江西南昌·八年级南昌市第十九中学校考期中）如果最简二次根式与是同类二次根式．

(1)求出a的值；

(2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．

【详解】解：（1）4a-5=13-2a，

解得a=3．

（2）∵a≤x≤2a，

∴，

=

=

=

【题型三】二次根式加减运算

【典题1】（2022春·西藏林芝·八年级校考期中）计算，结果正确的是（   ）

A． B． C． D．

【详解】原式

．

故选：A．

巩固练习

1．（）（2022春·山东日照·八年级校考期中）估计5-的值应在（　　）

A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间

【详解】5﹣=，

∵49<54<64，

 ∴7<<8，

∴5﹣的值应在7和8之间，

故选：C．

2．（）（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）计算：的结果是___________________．

【详解】解：原式==

故答案为：

3．（）（2022春·广西钦州·八年级统考期末）已知长方形的长和宽分别为，，则它的周长=______．

【详解】∵一个长方形的长和宽分别是，

周长为：2×（）=2×（2+）=2×3=6，

故答案为：6．

4．（）（2022春·山东临沂·八年级校考期中）计算：．

【详解】解：原式＝

＝．

【题型四】二次根式混合运算

【典题1】（2022秋·山东枣庄·八年级统考期末）计算的结果是（    ）

A．7 B． C． D．

【详解】解：

，

故选：B．

巩固练习

1．（）（2022春·湖北恩施·八年级校考期末）估计的值应在（    ）

A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间

【详解】 ，

∵，

∴，

∴，

故选：B．

2．（）（2022春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）估计的值在（    ）之间．

A．4和5 B．5和6 C．6和7 D．7和8

【详解】解：，

=，

=，

=，

∵，

∴，

∴．

故选：D．

3．（）（2022秋·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期末）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（　　）

A． B． C． D．

【详解】解：

的整数部分

则小数部分是：

则

故选：

4．（）（2022秋·江苏苏州·八年级校考期中）已知，，则代数式的值为（    ）

A．9 B． C．3 D．5

【详解】∵，，

∴，mn=-1，

∴

=3．

故选：C．

5．（）（2022秋·广东佛山·八年级校考期中）我们知道是一个无理数，设它的整数部分为a，小数部分为b，则（+a）·b的值是_________．

【详解】∵2＜＜3，

∴a=2，b=-2，

∴（+a）·b

=（+2）（-2）

=5-4

=1，

故答案为：1．

6．（）（2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期中）已知x＝，y＝，则x2﹣y2＝___．

【详解】解：∵x＝，y＝，

∴x2﹣y2＝

故答案为：．

7．（）（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）计算：

(1)；

(2)

（1）解：

=

=

=4

（2）

=

=

=

=

【题型五】分母有理化

【典题1】（2022春·西藏那曲·八年级统考期中）规定则的值是（    ）

A． B． C． D．

【详解】解：

，

故选A．

巩固练习

1．（）（2022春·山东济宁·八年级统考期中）已知a＝，b＝2+，则a，b的关系是（　　）

A．相等 B．互为相反数

C．互为倒数 D．互为有理化因式

【详解】解：∵a＝＝+2，b＝2+，

∴a＝b，故选：A．

2．（）（2022春·河北保定·八年级统考期中）化简的结果为（    ）

A． B． C． D．

【详解】原式==

故选：A．

3．（）（2022秋·广西贵港·八年级统考期末）计算：______．

【详解】解：

故答案为：．

4．（）（2022秋·四川成都·八年级四川省成都市石室联合中学校考期末）已知4+的小数部分为k，则＝_____．

【详解】

故答案为：

【题型六】已知字母或条件式的值，化简求值

【典题1】（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）已知，求代数式的值．

【详解】解：∵，

∴，

∴

．

巩固练习

1．（）（2022春·河南信阳·八年级统考期末）已知x＝2﹣，y＝2+，求下列代数式的值：

（1）x2+2xy+y2；

（2）x2﹣y2．

【详解】（1）∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x+y＝4，

∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；

（2））∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x+y＝4，x﹣y＝﹣2，

∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）

＝4×（﹣2）

＝﹣8．

2．（）（2022春·吉林四平·八年级统考期末）先化简，再求值：其中

【详解】

=a2-3-a2+6a

=6a-3，

当时，原式=-3=．

3．（）（2022春·北京西城·八年级校考期中）已知：a＝ ，b＝，求计算：a2+2ab+b2的值．

【详解】∵a3，b3，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝（3）2＝（2）2＝40．

4．（）（2022春·重庆合川·八年级校考期中）先化简再求值：，其中．

【详解】解：∵，

∴，，

∴，

∴，

原式

当，时，

原式

．

【题型七】比较二次根式的大小

【典题1】（2022秋·江苏盐城·八年级校考期末）比较大小：________ （填“＞”或“＜”＝）．

【详解】∵，，

又∵18>12，

∴．

故答案为：>．

巩固练习

1．（）（2022秋·河北石家庄·八年级石家庄市第十九中学校考期中）比较大小：﹣2_____﹣5（填“＞”、“＝”或“＜”）．

【详解】解：∵，，

又∵，

∴，

∴．

故答案为：>．

2．（）（2022秋·甘肃张掖·八年级校联考期末）估算比较大小：_______；______．

【详解】解：①，，

故答案为：．

②，

故答案为：．

3．（）（2022秋·上海静安·八年级上海市市西中学校考期中）比较大小：______．

【详解】∵

而，

∴．

故答案为：＞．

【题型八】二次根式的应用

【典题1】（2022春·贵州黔南·八年级统考期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48 cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（    ）

A．78 cm2 B．cm2 C． cm2 D． cm2

【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，

大正方形的边长是，

留下部分（即阴影部分）的面积是：

故选：D．

巩固练习

1．（）（2022秋·湖南邵阳·八年级统考期末）一个等腰三角形一边长为2，另一边长为，那么这个等腰三角形的周长是（    ）

A． B． C．或 D．以上都不对

【详解】解：分两种情况：

当腰为2时，2+2>，所以能构成三角形，周长是：2+2+=4+；

当腰为时，2+>，所以能构成三角形，周长是：2++=2+2．

所以这个等腰三角形的周长是4+或2+2，

故选：C．

2．（）（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期末）观察数据并寻找规律：，，，，……，则第2021个数是______．

【详解】解：∵，，，，……，

∴第n个数据应是

∴第2021个数是

故答案为：．

3．（）（2022秋·山东枣庄·八年级统考期末）若长方形的周长是，一边长是，则它的面积是______．

【详解】解：∵矩形的周长是，一边长是，

∴另一边长为：，

∴矩形的面积为：，

故答案为：．

4．（）（2022春·新疆阿克苏·八年级统考期中）判断以下列各式是否成立：

；；．

类比上述式子，再写出两个同类的式子．你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律，并给出证明．

【详解】解：；

；

．

所以以上都成立．

举例如下：，，

规律是： （n＞1）

证明：设n为大于1的正整数，

左边右边，

所以成立，

5．（）（2022春·河南驻马店·八年级统考期中）某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米

(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）；

(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）

【详解】（1）解：长方形ABCD的周长（米），

答：长方形ABCD的周长是米；

（2）解：通道的面积

（平方米），

购买地砖需要花费（元）．

答：购买地砖需要花费元．