高中数学高考课后限时集训25 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 作业

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

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一、选择题

1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)

A　[令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.

由f＝0，f＝0，排除C，故选A.]

2．函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是(　　)

A．－　　　　　 B.

C．1   D.

D　[由题意可知该函数的周期为，

∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.

∴f＝tan ＝.]

3．(2019·潍坊模拟)函数y＝sin 2x－cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由题意知y＝sin 2x－cos 2x＝2sin，其图象向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2φ＋＝＋kπ，k∈Z，所以φ＝＋，k∈Z，又因为φ∈，所以φ＝.]

4.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)

A．－   B.

C．－   D.

B　[由题意，得＝－＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又因为f＝sin＝0，－＜φ＜，所以φ＝.]

5．(2019·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最小正周期为2；

②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；

③f(x)在，k∈Z上是减函数；

④f(x)的最大值为A.

则正确结论的个数为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

B　[由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A＞0，则最大值是A，若A＜0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.]

二、填空题

6．将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f(x)＝________.

2sin　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin.]

7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝f取得最小值时x的集合为________．

x　[根据所给图象，周期T＝4×＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点，代入有2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，

再由|φ|＜，得φ＝－，∴f(x)＝sin，

∴f＝sin，

当2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f取得最小值．]

8．已知f(x)＝sin(ω＞0)，f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________.

　[依题意，x＝＝时，y有最小值，

∴sin＝－1，∴ω＋＝2kπ＋(k∈Z)．

∴ω＝8k＋(k∈Z)，因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以－≤，即ω≤12，令k＝0，得ω＝.]

三、解答题

9．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

[解]　(1)因为T＝＝π，所以ω＝2，

又因为f＝cos＝cos

＝－sin φ＝且－＜φ＜0，所以φ＝－.

(2)由(1)知f(x)＝cos.

列表：

描点，连线，可得函数f(x)在[0，π]上的图象如图所示．

10.(2019·北京市东城区二模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，求m的最大值．

[解]　(1)由图象可知，A＝2.

因为＝(T为最小正周期)，所以T＝π.

由π＝，解得ω＝2.

又函数f(x)的图象经过点，所以2sin＝2，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)．

又|φ|＜，所以φ＝.

所以f(x)＝2sin.

(2)法一：因为x∈[0，m]，所以2x＋∈.

当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递增；

所以此时f(x)≥f(0)＝1，符合题意；

当2x＋∈，即x∈时，f(x)单调递减，

所以f(x)≥f＝1，符合题意；

当2x＋∈时，即x∈时，f(x)单调递减，

所以f(x)＜f＝1，不符合题意．

综上，若对于任意的x∈[0，m]，f(x)≥1恒成立，则必有0＜m≤，所以m的最大值是.

法二：画出函数f(x)＝2sin的图象，如图所示，由图可知，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，且f(0)＝f＝1，所以0＜m≤.所以m的最大值为.

1．将函数f(x)＝tan(0＜ω＜10)的图象向右平移个单位长度后与函数f(x)的图象重合，则ω＝(　　)

A．9   B．6

C．4   D．8

B　[函数f(x)＝tan的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y＝tan＝tan，∵平移后的图象与函数f(x)的图象重合，∴－＋＝＋kπ，k∈Z，

解得ω＝－6k，k∈Z.又∵0＜ω＜10，∴ω＝6.]

2.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ).则下列叙述错误的是(　　)

A．R＝6，ω＝，φ＝－

B．当t∈[35,55]时，点P到x轴的距离的最大值为6

C．当t∈[10,25]时，函数y＝f(t)递减

D．当t＝20时，|PA|＝6

C　[由题意，R＝＝6，T＝60＝，所以ω＝，

t＝0时，点A(3，－3)代入可得－3＝6sin φ，因为|φ|＜，所以φ＝－，故A正确；

f(t)＝6sin，当t∈[35,55]时，t－∈，

所以点P到x轴的距离的最大值为6，B正确；

当t∈[10,25]时，t－∈，函数y＝f(t)先增后减，C不正确；

当t＝20时，t－＝，P的纵坐标为6，|PA|＝＝6，D正确．故选C.]

3．(2019·长春模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

　[f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，

因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，则ω2≤，即ω2＝，

所以ω＝.]

4．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在它的某一个周期内的单调递减区间是.将y＝f(x)的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)在区间上的最大值和最小值．

[解]　(1)∵＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，

又∵sin＝1，|φ|＜，

∴φ＝－，f(x)＝sin，

将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得

y＝sin＝sin，

再将y＝sin的图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得g(x)＝sin.

∴g(x)＝sin.

(2)∵x∈，∴4x＋∈，

当4x＋＝时，x＝，

∴g(x)在上为增函数，在上为减函数，所以g(x)max＝g＝1，

又因为g(0)＝，g＝－，所以g(x)min＝－，

故函数g(x)在区间上的最大值和最小值分别为1和－.

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式，并写出其图象的对称中心；

(2)若方程f(x)＋2cos＝a有实数解，求a的取值范围．

[解]　(1)由图可得A＝2，＝－＝，

所以T＝π，所以ω＝2.

当x＝时，f(x)＝2，可得2sin＝2，

因为|φ|＜，所以φ＝.

所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．

(2)设g(x)＝f(x)＋2cos，

则g(x)＝2sin＋2cos

＝2sin＋2，

令t＝sin，t∈[－1,1]，

记h(t)＝－4t2＋2t＋2＝－42＋，

因为t∈[－1,1]，所以h(t)∈，

即g(x)∈，故a∈.

故a的取值范围为.