新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.5《椭圆》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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3.理解数形结合思想.
4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；
③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.点P(x0，y0)和椭圆的位置关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＜1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔eq \f(xeq \\al(2,0),a2)＋eq \f(yeq \\al(2,0),b2)＞1.
2.焦点三角形
如图，椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.设r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中：
(1)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
(2)S＝b2tan eq \f(θ,2)＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)a﹣c≤|PF1|≤a＋c.
(4)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a﹣ex0.
3.椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.
4.已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
5.椭圆中点弦的斜率公式
若M(x0，y0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y轴)的中点，则有kAB·kOM＝﹣eq \f(b2,a2)，即kAB＝﹣eq \f(b2x0,a2y0).
6.弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])
＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])(k为直线的斜率).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( )
(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( )
(4)关于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
二、教材改编
1.若F1(﹣3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1 D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,16)＝1
2.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2)－1,2)
C.2﹣eq \r(2) D.eq \r(2)﹣1
3.若方程eq \f(x2,5－k)＋eq \f(y2,k－3)＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.
4.已知椭圆的一个焦点为F(1，0)，离心率为eq \f(1,2)，则椭圆的标准方程为________.
第1课时 椭圆及其性质
考点1 椭圆的定义及应用
椭圆定义的应用主要有两个方面
一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
(2)F1，F2是椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A.7 B.eq \f(7,4) C.eq \f(7,2) D.eq \f(7\r(5),2)
本例(1)应用线段中垂线的性质实现了“|PF|＋|PO|”向定值的转化；本例(2)把余弦定理与椭圆的定义交汇在一起，借助方程的思想解出|AF1|，从而求得△AF1F2的面积.
[备选例题]
设F1，F2分别是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|﹣|PF1|的最小值为________.
已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
考点2 椭圆的标准方程
定义法
先根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，并确定a2，b2的值，再结合焦点位置可写出椭圆方程.特别地，利用定义法求椭圆方程要注意条件2a＞|F1F2|.
1.在△ABC中，A(﹣4，0)，B(4，0)，△ABC的周长是18，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
C.eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) D.eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)
2.已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,48)＝1 B.eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1
C.eq \f(x2,48)﹣eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
利用定义法求轨迹方程时，注意检验所求轨迹是否是完整的曲线，倘若不是完整的曲线，应对曲线中的变量x或y进行限制.
待定系数法
利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.
1.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq \r(3)，eq \r(5))，则椭圆方程为________.
2.过点(eq \r(3)，﹣eq \r(5))，且与椭圆eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________.
3.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为________.
(1)已知椭圆上两点，常设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)；(2)椭圆的通径(过焦点且与长轴垂直的弦)长为eq \f(2b2,a).
考点3 椭圆的几何性质
椭圆的长轴、短轴、焦距
求解与椭圆几何性质有关的问题，如：顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系，同时要结合图形进行分析.
(1)已知椭圆eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,10－m)＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________.
求离心率的值(或范围)
求椭圆的离心率，常见的有三种方法
一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
(1)已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq \f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,4)
(2)椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足|PF1|＝eq \f(3,2)|F1F2|，则椭圆C的离心率e的取值范围是________.
本例(2)在求解时运用了隐含条件“a﹣c≤|PF1|≤a＋c”.特别地，在求与椭圆的相关量的范围时，要注意经常用到椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等不等关系.
1.嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3 476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为( )
A.eq \f(1,25) B.eq \f(3,40) C.eq \f(1,8) D.eq \f(3,5)
2.已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)，1)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(5),5))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(2),2)))
与椭圆性质有关的最值或范围问题
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围.
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.
(1)设A，B是椭圆C：eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,m)＝1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是( )
A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，eq \r(3)]∪[9，＋∞)
C.(0，1]∪[4，＋∞) D.(0，eq \r(3)]∪[4，＋∞)
(2)若点O和点F分别为椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则eq \(OP,\s\up8(→))·eq \(FP,\s\up8(→))的最大值为( )
A.2 B.3
C.6 D.8
本例(1)的求解恰恰应用了焦点三角形中张角最大的情形，借助该临界点可以迅速求出此种情形下的椭圆离心率，然后数形结合求解；本例(2)的求解采用了先建模，再借助椭圆中变量x(y)的有界性解模的思路.
[备选例题]
1.设椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),6) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(\r(3),3)
2.如图，焦点在x轴上的椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,b2)＝1的离心率e＝eq \f(1,2)，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则eq \(PF,\s\up8(→))·eq \(PA,\s\up8(→))的最大值为________.
3.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于eq \f(\r(3),2)(a﹣c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________.
以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A.1 B.eq \r(2)
C.2 D.2eq \r(2)
第2课时 直线与椭圆
考点1 直线与椭圆的位置关系
研究直线与椭圆位置关系的方法
直线与椭圆位置关系的判定方法，直线与椭圆方程联立，消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程时，设其判别式为Δ，
①Δ＞0⇔直线与椭圆相交.
②Δ＝0⇔直线与椭圆相切.
③Δ＜0⇔直线与椭圆相离.
1.若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A.m＞1 B.m＞0
C.0＜m＜5且m≠1 D.m≥1且m≠5
2.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点.
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数； (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
考点2 弦长及中点弦问题
中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
(1)过椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦所在直线的方程是( )
A.4x＋3y﹣13＝0 B.3x＋4y﹣13＝0
C.4x﹣3y＋5＝0 D.3x﹣4y＋5＝0
(2)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________.
“点差法”的优点是设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，eq \f(y1－y2,x1－x2)三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率.
提醒：与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式kAB·kOM＝﹣eq \f(b2,a2)，即kAB＝﹣eq \f(b2x0,a2y0)比较方便快捷，其中点M的坐标为(x0，y0).
[备选例题]
已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(1)若过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
(2)求过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,2)))且被P点平分的弦所在直线的方程.
1.已知直线y＝1﹣x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为﹣eq \f(\r(3),2)，则eq \f(a,b)的值为( )
A.﹣eq \f(\r(3),2) B.﹣eq \f(2\r(3),3) C.﹣eq \f(9\r(3),2) D.﹣eq \f(2\r(3),27)
2.已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1的左焦点为F，O为坐标原点.设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，点A和点B关于直线l对称，l与x轴交于点G，则点G横坐标的取值范围是________.
弦长问题
求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2])(k为斜率).
设离心率为eq \f(\r(2),2)的椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为eq \r(2)﹣1.
(1)求E的方程；
(2)矩形ABCD的两顶点C，D在直线y＝x＋2上，A，B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为eq \f(11\r(2),3)，求直线AB的方程.
利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.
[备选例题]
已知椭圆E：eq \f(x2,t)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.
(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；
(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围.
1.斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A.2 B.eq \f(4\r(5),5) C.eq \f(4\r(10),5) D.eq \f(8\r(10),5)
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，|AB|＝4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若|AB|＋|CD|＝eq \f(48,7)，求直线AB的方程.
考点3 直线与圆锥曲线的综合问题
解决直线与圆锥曲线的综合问题的一般步骤
第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；
第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；
第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的关系式，求得结果；
第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.
椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为eq \f(\r(3),2)，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；
(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k2≠0，证明eq \f(1,kk1)＋eq \f(1,kk2)为定值，并求出这个定值.
本例的解题过程体现了数学运算素养，其中设出P点的坐标而不求解又体现了数学运算素养中的一个运算技巧——设而不求，从而简化了运算过程.
[备选例题]
设椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3).
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点.若eq \(AC,\s\up8(→))·eq \(DB,\s\up8(→))＋eq \(AD,\s\up8(→))·eq \(CB,\s\up8(→))＝8，O为坐标原点，求△OCD的面积.
已知P点坐标为(0，﹣2)，点A，B分别为椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且eq \(PQ,\s\up8(→))＝eq \f(3,2)eq \(QB,\s\up8(→)).
(1)求椭圆E的方程；
(2)设过点P的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
“设而不求”是解析几何解题简化运算的一种重要手段，它的精彩在于通过设出相应的参数，利用题设条件加以巧妙转化，以参数为过渡，最大限度地减少运算；同时，“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法，其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用.
活用定义，转化坐标
【例1】在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________.
[评析] 设出点的坐标，先通过抛物线的定义，实现点的坐标与几何关系|AF|＋|BF|＝4|OF|的转换，然后借助根与系数的关系建立参数a，b的等量关系，达到设而不求，从而求得双曲线的渐近线方程.
【素养提升练习】抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(﹣m，0)，则eq \f(|PF|,|PA|)的最小值为________.
妙用“点差法”，构造斜率
【例2】已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点.若AB的中点坐标为(1，﹣1)，则E的标准方程为( )
A.eq \f(x2,45)＋eq \f(y2,36)＝1 B.eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1
C.eq \f(x2,27)＋eq \f(y2,18)＝1 D.eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1
[评析] 该题目属于中点弦问题，可设出A，B两点的坐标，通过“点差法”，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题.
【素养提升练习】1.抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x﹣2)对称，则k的取值范围是________.
2.已知双曲线x2﹣eq \f(y2,2)＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
巧引参数，整体代入
【例3】已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点.
(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由.
[评析]第(2)问先设出AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程，利用根与系数的关系求出xM，在此基础上借助kAM·kAN＝﹣1，整体代入求出xN.
【素养提升练习】已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值.
椭圆及其性质
一、选择题
1.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2
C.a＝2b D.3a＝4b
2.已知方程eq \f(x2,2－k)＋eq \f(y2,2k－1)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B.(1，＋∞)
C.(1，2) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
3.椭圆C的一个焦点为F1(0，1)，并且经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，1))，则椭圆C的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(y2,3)＋eq \f(x2,2)＝1
C.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(y2,4)＋eq \f(x2,3)＝1
4.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( )
A.eq \r(3)﹣eq \r(2) B.eq \r(3)﹣1
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2)
5.已知△ABC的顶点B，C在椭圆eq \f(x2,3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A.2eq \r(3) B.6
C.4eq \r(3) D.12
二、填空题
6.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2﹣6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________.
7.设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________.
8.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足eq \(MF,\s\up8(→))1·eq \(MF,\s\up8(→))2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________.
三、解答题
9.已知点P是圆F1：(x＋1)2＋y2＝16上任意一点(F1是圆心)，点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m分别与PF1，PF2交于M，N两点.求点M的轨迹C的方程.
10.已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
1.已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝( )
A.4 B.8
C.12 D.16
2.2016年1月14日，国防科工局宣布，“嫦娥四号”任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2；②a1﹣c1＝a2﹣c2；③eq \f(c1,a1)a1c2.
其中正确式子的序号是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
3.已知△ABC的顶点A(﹣3，0)和顶点B(3，0)，顶点C在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则eq \f(5sin C,sin A＋sin B)＝________.
4.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A，B分别是其左、右顶点，点P是椭圆C上任一点，且△PF1F2的周长为6，若△PF1F2面积的最大值为eq \r(3).
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F2且斜率不为0的直线交椭圆C于M，N两个不同的点，证明：直线AM与BN的交点在一条定直线上.
1.已知椭圆C的焦点为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
2.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球O2的半径分别为3和1，球心距离eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(O1O2))＝8，截面分别与球O1，球O2切于点E，F，(E，F是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于________.
直线与椭圆
一、选择题
1.直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，3)∪(3，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(0，3)∪(3，＋∞)
2.过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3)
C.eq \f(5,4) D.eq \f(10,3)
3.已知F1(﹣1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.eq \f(x,2)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,3)＝1
C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1
4.已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x﹣y＋5＝0，弦的中点坐标是M(﹣4，1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(5),5)
5.倾斜角为eq \f(π,4)的直线经过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点F，与椭圆交于A，B两点，且eq \(AF,\s\up8(→))＝2eq \(FB,\s\up8(→))，则该椭圆的离心率为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),3)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
二、填空题
6.过椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A，B两点，则eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)等于________.
7.已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆交于点A，B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________.
8.椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq \r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________.
三、解答题
9.已知椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋eq \f(1,2)对称，求实数m的取值范围.
10.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)(a＞b＞0)的离心率为eq \f(\r(3),2)，左、右顶点分别是A1，A2，上顶点为B(0，b)，△A1A2B的面积等于2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点Q(1，0)，P(4，m)，直线PA1，PA2分别交椭圆C于点M，N，证明：M，Q，N三点共线.
1.已知P(x0，y0)是椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若eq \(PF,\s\up8(→))1·eq \(PF,\s\up8(→))2<0，则x0的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(6),3)，\f(\r(6),3)))
2.已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y＝0交椭圆E于A，B两点.若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，1)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，1))
3.已知A，B分别为椭圆C：eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)在x轴正半轴、y轴正半轴上的顶点，原点O到直线AB的距离为eq \f(2\r(21),7)，且|AB|＝eq \r(7) .
(1)求椭圆C的离心率；
(2)直线l：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝2相切，并与椭圆C交于M，N两点，若|MN|＝eq \f(12\r(2),7)，求k的值.
1.平行四边形ABCD内接于椭圆eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，直线AB的斜率k1＝2，则直线AD的斜率k2等于( )
A.eq \f(1,2) B.﹣eq \f(1,2)
C.﹣eq \f(1,4) D.﹣2
2.过椭圆eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝eq \f(b2,3)的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值为________.
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
﹣a≤x≤a
﹣b≤y≤b
﹣b≤x≤b
﹣a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(﹣a，0)，A2(a，0)，B1(0，﹣b)，B2(0，b)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)，B1(﹣b，0)，B2(b，0)
离心率
e＝eq \f(c,a)，且e∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2﹣b2
课外素养提升⑧ 数学运算——“设而不求”在解析几何中的妙用