新高考数学一轮复习讲义+分层练习 8.6《双曲线》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
3.理解数形结合思想.
4.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.
(2)集合P＝{M|||MF1|﹣|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，
其中a，c为常数且a>0，c>0.
①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；
②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；
③当2a>|F1F2|时，M点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
eq \a\vs4\al([常用结论])
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b.
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
(3)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝eq \r(2)⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系).
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a).
(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.
(6)双曲线的离心率公式可表示为e＝eq \r(1＋\f(b2,a2)).
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，﹣4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )
(2)方程eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.( )
(3)双曲线eq \f(x2,m2)﹣eq \f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是eq \f(x2,m2)﹣eq \f(y2,n2)＝0，即eq \f(x,m)±eq \f(y,n)＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于eq \r(2).( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材改编
1.若双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A.eq \r(5) B.5 C.eq \r(2) D.2
答案为：A.解析：由题意可知b＝2a，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(5)，故选A.]
2.以椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ( )
A.x2﹣eq \f(y2,3)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣y2＝1
C.x2﹣eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,3)＝1
答案为：A.解析：设所求的双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，得椭圆焦点为(±1，0)，在x轴上的顶点为(±2，0).所以双曲线的顶点为(±1，0)，焦点为(±2，0). 所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以双曲线标准方程为x2﹣eq \f(y2,3)＝1.]
3.若方程eq \f(x2,2＋m)﹣eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，则m的取值范围是________.
(﹣∞，﹣2)∪(﹣1，＋∞) [因为方程eq \f(x2,2＋m)﹣eq \f(y2,m＋1)＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＞0，即m＞﹣1或m＜﹣2.]
4.已知双曲线x2﹣eq \f(y2,16)＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________.
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|﹣|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为c﹣a＝eq \r(17)﹣1，故|PF2|＝6.]
考点1 双曲线的定义及其应用
双曲线定义的主要应用
(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线.
(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题.
(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x﹣3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.
(2)已知F是双曲线eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________.
(3)已知F1，F2为双曲线C：x2﹣y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cs∠F1PF2＝________.
(1)x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1) (2)9 (3)eq \f(3,4) [(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|﹣|AC1|＝|MA|，|MC2|﹣|BC2|＝|MB|.
因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|﹣|AC1|＝|MC2|﹣|BC2|，
即|MC2|﹣|MC1|＝|BC2|﹣|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2﹣eq \f(y2,8)＝1(x≤﹣1).
(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋|PF1|，所以当|PF1|＋|PA|最小时满足|PF|＋|PA|最小.由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，|AF1|即|PF1|＋|PA|的最小值.又|AF1|＝5，故所求的最小值为9.
(3)因为由双曲线的定义有|PF1|﹣|PF2|＝|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，所以|PF1|＝2|PF2|＝4eq \r(2)，
所以cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(（4\r(2)）2＋（2\r(2)）2－42,2×4\r(2)×2\r(2))＝eq \f(3,4).]
[母题探究]
1.将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(1,2)，
∴|PF1|·|PF2|＝8，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2eq \r(3).
2.将本例(3)中的条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
[解] 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2eq \r(2)，
∵eq \(PF1,\s\up8(→))·eq \(PF2,\s\up8(→))＝0，∴eq \(PF1,\s\up8(→))⊥eq \(PF2,\s\up8(→))，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，∴S△F1PF2＝eq \f(1,2)|PF1|·|PF2|＝2.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|﹣|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系.
1.虚轴长为2，离心率e＝3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|＝8，则△ABF2的周长为( )
A.3 B.16＋eq \r(2)
C.12＋eq \r(2) D.24
答案为：B.解析：由于2b＝2，e＝eq \f(c,a)＝3，∴b＝1，c＝3a，∴9a2＝a2＋1，∴a＝eq \f(\r(2),4).
由双曲线的定义知，|AF2|﹣|AF1|＝2a＝eq \f(\r(2),2)，① |BF2|﹣|BF1|＝eq \f(\r(2),2)，②
①＋②得|AF2|＋|BF2|﹣(|AF1|＋|BF1|)＝eq \r(2)，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝8，∴|AF2|＋|BF2|＝8＋eq \r(2)，
则△ABF2的周长为16＋eq \r(2)，故选B.]
2.已知双曲线x2﹣y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是________.
8 [设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，|F1P2|＝2a＋|F2P2|，∴|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|＝2a＋|F2P1|＋2a＋|F2P2|﹣|P1P2|＝8＋(|F2P1|＋|F2P2|﹣|P1P2|)≥8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，∴|F1P1|＋|F1P2|﹣|P1P2|的最小值是8.]
考点2 双曲线的标准方程
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程.
(2)待定系数法：即“先定位，后定量”.
①焦点位置不确定时，设Ax2＋By2＝1(AB<0)；
②与eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1共渐近线的设为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
③与eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1共焦点的设为eq \f(x2,a2－k)﹣eq \f(y2,b2＋k)＝1(﹣b2 (1)(大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2eq \r(2)，则双曲线的标准方程为( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1 B.eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1
C.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,8)＝1 D.x2﹣eq \f(y2,2)＝1
(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
①虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
②渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，焦距为10；
③经过两点P(﹣3，2eq \r(7))和Q(﹣6eq \r(2)，﹣7)；
(1)答案为：D.解析：(1)由题意可知|PF1|＝eq \f(4\r(3)c,3)，|PF2|＝eq \f(2\r(3)c,3)，2b＝2eq \r(2)，由双曲线的定义可得eq \f(4\r(3)c,3)﹣eq \f(2\r(3)c,3)＝2a，即c＝eq \r(3)a.又b＝eq \r(2)，c2＝a2＋b2，∴a＝1，∴双曲线的标准方程为x2﹣eq \f(y2,2)＝1，故选D.]
(2)[解] ① 设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).
由题意知，2b＝12，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)﹣eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)﹣eq \f(x2,36)＝1.
②设所求双曲线方程为eq \f(x2,4)﹣y2＝λ(λ≠0)，
当λ>0时，双曲线标准方程为eq \f(x2,4λ)﹣eq \f(y2,λ)＝1，
∴c＝eq \r(5λ).∴eq \r(5λ)＝5，λ＝5；
当λ<0时，双曲线标准方程为eq \f(y2,－λ)﹣eq \f(x2,－4λ)＝1，
∴c＝eq \r(－5λ).∴eq \r(－5λ)＝5，λ＝﹣5.
∴所求双曲线方程为eq \f(x2,20)﹣eq \f(y2,5)＝1或eq \f(y2,5)﹣eq \f(x2,20)＝1.
③设双曲线方程为mx2﹣ny2＝1.(mn>0)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(9m－28n＝1，,72m－49n＝1，))解之得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－\f(1,75)，,n＝－\f(1,25).))
∴双曲线方程为eq \f(y2,25)﹣eq \f(x2,75)＝1.
(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置.(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论.
1.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A.eq \f(x2,\f(1,2))﹣y2＝1 B.eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,3)＝1
C.x2﹣eq \f(y2,3)＝1 D.eq \f(x2,\f(2,3))﹣eq \f(y2,\f(3,2))＝1
答案为：C.解析：由双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)过点(eq \r(2)，eq \r(3))，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,a2)－\f(3,b2)＝1，,\f(b,a)＝\r(3)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝\r(3)，))
∴双曲线C的标准方程是x2﹣eq \f(y2,3)＝1，故选C.]
2.已知双曲线的渐近线方程为3x±4y＝0，焦点坐标为(±5，0)，则双曲线的方程为__________.
eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1 [将3x±4y＝0化为eq \f(x,4)±eq \f(y,3)＝0，设以eq \f(x,4)±eq \f(y,3)＝0为渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)，因为该双曲线的焦点坐标为(±5，0)，
所以16λ＋9λ＝25，解得λ＝1，即双曲线的方程为eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1.]
考点3 双曲线的几何性质
双曲线的渐近线
求双曲线的渐近线的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝0，得y＝±eq \f(b,a)x；或令eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝0，得y＝±eq \f(a,b)x.反之，已知渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0).
1.双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )
A.y＝±eq \r(2)x B.y＝±eq \r(3)x
C.y＝±eq \f(\r(2),2)x D.y＝±eq \f(\r(3),2)x
答案为：A.解析：法一：(直接法)由题意知，e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3)a，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)a，即eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.法二：(公式法)由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(2)x.]
2.已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线方程为2x＋y＝0，则m的值为( )
A.﹣eq \f(1,4) B.﹣1
C.﹣2 D.﹣4
答案为：D.解析：因为m＜0，则双曲线为：y2﹣eq \f(x2,－\f(1,m))＝1，渐近线方程为：±eq \r(－m)x＋y＝0，
所以eq \r(－m)＝2，解得m＝﹣4，故选D.]
3.设F1，F2分别是双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±eq \r(2)y＝0 B.eq \r(2)x±y＝0
C.x±2y＝0 D.2x±y＝0
答案为：B.解析：假设点P在双曲线的右支上，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.
∵|F1F2|＝2c＞2a，∴△PF1F2最短的边是PF2，∴△PF1F2的最小内角为∠PF1F2.
在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝16a2＋4c2﹣2×4a×2c×cs 30°，
∴c2﹣2eq \r(3)ac＋3a2＝0，∴e2﹣2eq \r(3)e＋3＝0，∴e＝eq \r(3)，∴eq \f(c,a)＝eq \r(3)，
∴c2＝3a2，∴a2＋b2＝3a2，∴b2＝2a2，∴eq \f(b,a)＝eq \r(2)，
∴双曲线的渐近线方程为eq \r(2)x±y＝0，故选B.]
4.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
y＝±eq \r(2)x
[∵双曲线x2﹣eq \f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，∴32﹣eq \f(16,b2)＝1，解得b2＝2，即b＝eq \r(2).
又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝±eq \r(2)x.]
双曲线的离心率
求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2﹣a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.
(1)已知点F是双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(1，2)
C.(2，1＋eq \r(2)) D.(1，1＋eq \r(2))
(2)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，则C的离心率为________.
(1)B (2)2 [(1)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝eq \f(b2,a)，|FE|＝a＋c，则eq \f(b2,a)＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2﹣c2＋ac＞0，则e2﹣e﹣2＜0，解得﹣1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.
(2)如图，由eq \(F1A,\s\up8(→))＝eq \(AB,\s\up8(→))，得F1A＝AB.
又OF1＝OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，
即BF2//OA，BF2＝2OA.由eq \(F1B,\s\up8(→))·eq \(F2B,\s\up8(→))＝0，得F1B⊥F2B，OA⊥F1A，
则OB＝OF1，所以∠AOB＝∠AOF1，
又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2＝∠AOF1，
又∠BOF2＋∠AOB＋∠AOF1＝π，得∠BOF2＝∠AOF1＝∠BOA＝60°，
又渐近线OB的斜率为eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)，
所以该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋（\f(b,a)）2)＝eq \r(1＋（\r(3)）2)＝2.]
双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1).
1.已知双曲线C1：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2﹣2ax＋eq \f(3,4)a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A.(1,eq \f(2\r(3),3)) B.(eq \f(2\r(3),3),＋∞) C.(1，2) D.(2，＋∞)
答案为：A.解析：由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，即bx±ay＝0，
圆C2：x2＋y2﹣2ax＋eq \f(3,4)a2＝0可化为(x﹣a)2＋y2＝eq \f(1,4)a2，圆心C2的坐标为(a，0)，半径r＝eq \f(1,2)a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得eq \f(|ab|,\r(a2＋b2))2b，即c2>4b2，又知b2＝c2﹣a2，所以c2>4(c2﹣a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为(1,eq \f(2\r(3),3)).]
2.已知双曲线E：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________.
2 [由已知得|AB|＝|CD|＝eq \f(2b2,a)，|BC|＝|AD|＝|F1F2|＝2c.
因为2|AB|＝3|BC|，所以eq \f(4b2,a)＝6c，又b2＝c2﹣a2，所以2e2﹣3e﹣2＝0，
解得e＝2，或e＝﹣eq \f(1,2)(舍去).]
双曲线
一、选择题
1.渐进线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是( )
A.eq \f(\r(2),2) B.1 C.eq \r(2) D.2
答案为：C.解析：根据渐进线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝eq \r(2)a
则该双曲线的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)，故选C.]
2.若实数k满足0＜k＜9，则曲线eq \f(x2,25)﹣eq \f(y2,9－k)＝1与曲线eq \f(x2,25－k)﹣eq \f(y2,9)＝1的( )
A.离心率相等 B.虚半轴长相等
C.实半轴长相等 D.焦距相等
答案为：D.解析：由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由eq \r(25＋9－k)＝eq \r(25－k＋9)，得两双曲线的焦距相等.]
3.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
答案为：D.解析：l的方程为x＝﹣1，双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x，故得A(﹣1，eq \f(b,a))，B(﹣1，﹣eq \f(b,a))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(2b,a)，eq \f(2b,a)＝4，b＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(5)，故选D.]
4.已知点A(﹣1，0)，B(1，0)为双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为( )
A.x2﹣eq \f(y2,4)＝1 B.x2﹣eq \f(y2,3)＝1
C.x2﹣eq \f(y2,2)＝1 D.x2﹣y2＝1
答案为：D.解析：由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝eq \r(3)，所以M(2，eq \r(3))，代入双曲线方程得4﹣eq \f(3,b2)＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2﹣y2＝1，故选D.]
5.已知△ABC的顶点A(﹣5，0)，B(5，0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,21)＝1(x＞2) B.eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,21)＝1(y＞2)
C.eq \f(x2,21)﹣eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(y2,4)﹣eq \f(x2,2)＝1
答案为：A.解析：如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.
|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|﹣|CB|＝7﹣3＝4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,21)＝1(x＞2).]
6.过双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y＝±x B.y＝±eq \r(2)x
C.y＝±eq \r(3)x D.y＝±2x
答案为：A.解析：由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为eq \r(4b2－c2)＝eq \r(3b2－a2)，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(3b2－a2),\r(a2＋b2))，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.]
7.已知双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A.2eq \r(15)a2 B.eq \r(15)a2
C.30a2 D.15a2
答案为：B.解析：由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝eq \f(c,a)＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，
∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|﹣|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cs ∠F1AF2＝eq \f(|AF1|2＋|AF2|2－|F1F2|2,2|AF1|·|AF2|)＝eq \f(（4a）2＋（2a）2－（4a）2,2×4a×2a)＝eq \f(1,4).
又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝eq \f(\r(15),4)，
∴S△AF1F2＝eq \f(1,2)|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝eq \f(1,2)×4a×2a×eq \f(\r(15),4)＝eq \r(15)a2.]
二、填空题
8.已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________；b＝________.
1 2 [由2x＋y＝0，得y＝﹣2x，所以eq \f(b,a)＝2.又c＝eq \r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]
9.若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq \r(2)，且过点(4，﹣eq \r(10))，则该双曲线的标准方程为________.
eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,6)＝1
[依题意，e＝eq \r(2)⇒a＝b.设方程为eq \f(x2,m)﹣eq \f(y2,m)＝1，则eq \f(16,m)﹣eq \f(10,m)＝1，解得m＝6.∴eq \f(x2,6)﹣eq \f(y2,6)＝1.]
10.设双曲线x2﹣eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.
(2eq \r(7)，8) [如图，由已知可得a＝1，b＝eq \r(3)，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（m＋2）2又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2eq \r(7)<2m＋2<8.]
1.双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
A.2sin 40° B.2cs 40°
C.eq \f(1,sin 50°) D.eq \f(1,cs 50°)
答案为：D.解析：由题意可得﹣eq \f(b,a)＝tan 130°，所以e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋tan2130°)
＝eq \r(1＋\f(sin2130°,cs2130°))＝eq \f(1,|cs 130°|)＝eq \f(1,cs 50°).故选D.]
2.设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2 D.eq \r(5)
答案为：A.解析：如图，由题意，知以OF为直径的圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(c,2)))eq \s\up8(2)＋y2＝eq \f(c2,4)①，将x2＋y2＝a2记为②式，①﹣②得x＝eq \f(a2,c)，则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝eq \f(a2,c)，所以|PQ|＝2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))\s\up8(2)).由|PQ|＝|OF|，得2eq \r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))\s\up8(2))＝c，整理得c4﹣4a2c2＋4a4＝0，即e4﹣4e2＋4＝0，解得e＝eq \r(2)，故选A.]
3.已知焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________.
(0，2) [对于焦点在x轴上的双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c，0)到渐近线bx﹣ay＝0的距离为eq \f(|bc|,\r(b2＋a2))＝b.双曲线eq \f(x2,8－m)＋eq \f(y2,4－m)＝1，即eq \f(x2,8－m)﹣eq \f(y2,m－4)＝1，其焦点在x轴上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8－m>0，,m－4>0，))解得44.已知离心率为eq \f(\r(5),2)的双曲线C：eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是________.
16 [由题意知F2(c，0)，不妨令点M在渐近线y＝eq \f(b,a)x上，由题意可知|F2M|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，所以|OM|＝eq \r(c2－b2)＝a.由S△OMF2＝16，可得eq \f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq \r(5)，所以双曲线C的实轴长为16.]
1.已知椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线N：eq \f(x2,m2)﹣eq \f(y2,n2)＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________.
eq \r(3)﹣1 2
[设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，由点A在椭圆M上得，eq \f(c2,4a2)＋eq \f(3c2,4b2)＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2﹣c2，∴(a2﹣c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2﹣c2)，∴4a4﹣8a2c2＋c4＝0，∴eeq \\al(4,椭)﹣8eeq \\al(2,椭)＋4＝0，∴eeq \\al(2,椭)＝4±2eq \r(3)，∴e椭＝eq \r(3)＋1(舍去)或e椭＝eq \r(3)﹣1，∴椭圆M的离心率为eq \r(3)﹣1.
∵双曲线的渐近线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，∴渐近线方程为y＝eq \r(3)x，∴eq \f(n,m)＝eq \r(3)，故双曲线的离心率e双＝eq \r(\f(m2＋n2,m2))＝2.]
2.已知椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,m)＝1与双曲线x2﹣eq \f(y2,n)＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4eeq \\al(2,1)﹣eeq \\al(2,2)＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.
0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足ceq \\al(2,1)＝4﹣m，双曲线的半焦距满足ceq \\al(2,2)＝1＋n，
又因为两曲线有相同的焦点，所以4﹣m＝1＋n，即m＋n＝3，
则4eeq \\al(2,1)﹣eeq \\al(2,2)＝4×eq \f(4－m,4)﹣(1＋n)＝3﹣(m＋n)＝0.
不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＋|PF2|＝4，,|PF1|－|PF2|＝2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝3，,|PF2|＝1，))
则|PF1|·|PF2|＝3.]
标准方程
eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)
eq \f(y2,a2)﹣eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤﹣a，y∈R
y≤﹣a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(﹣a，0)，A2(a，0)
A1(0，﹣a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x
y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a)，e∈(1，＋∞)
实、虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)