必修 第一册2 指数幂的运算性质导学案

§2　指数幂的运算性质

指数幂的运算性质由哪些？

指数幂的运算性质(a>0，b>0，α∈R，β∈R)

1．aα·aβ＝aα＋β；

2．(aα)β＝aαβ；

3．(ab)α＝aα·bα.

以下计算正确吗？若计算错误，应该如何计算

[提示]　错误，.

1.23×2×2－2＝________.

2.(x2y－1z3)＝________.

[答案]　xyz

类型1　指数幂的运算

【例1】　计算下列各式：

[解]　(1)原式＝1＋×－

＝1＋－＝.

(2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝.

(3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝.

在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，再利用幂的运算性质进行化简．

1．计算：

(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；

(3)2÷4·3.

[解]　(1)原式＝

－＋1＝0.3－＋43＋2－＋1＝64.

(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.

(3)原式＝.

类型2　对指数幂的运算性质的理解

【例2】　(1)下列函数中，满足f ＝f 的是(　　)

A．f ＝4x B．f ＝4－x

C．f ＝2x D．f ＝2－x

(2)＝(　　)

(1)D　(2)A　[(1)f ＝2－(x＋1)＝×2－x＝f .故选D.

1．根据需要，指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用．

2．运用幂的运算性质化简时，其底数必须大于零，对于底数小于零的，要先化为底数大于零的形式．如先化为.

2．下列运算结果中，正确的是(　　)

A．a2·a3＝a6 B．3＝2

C.3＝a5 D．3＝－a6

D　[a2·a3＝a5，A错；

(－a2)3＝(－1)3×a2×3＝－a6，(－a3)2＝(－1)2×a3×2＝a6，B错；

3＝a6，C错，故选D.]

类型3　根据条件求值

【例3】　已知a＋a＝，求下列各式的值：

(1)a＋a－1；

(2)a2＋a－2.

[解]　(1)将a＋a＝两边平方，得a＋a－1＋2＝5，所以a＋a－1＝3.

(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7.

在本例条件不变的情况下，则a2－a－2＝______.

±3　[令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，

∴y＝±3，即a2－a－2＝±3.]

条件求值的步骤

3．已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求 的值．

[解]　

＝

＝.①

∵a＋b＝12，ab＝9，②

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.

∵a＜b，

∴a－b＝－6.③

将②③代入①，得＝＝－.

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1) 对任意实数a，am＋n＝aman.(　　)

(2) 当a>0时，n＝amn.(　　)

(3)当a≠0时，＝am－n.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．2·5＝(　　)

A．103 B．10

C．310 D．7

B　[由实数指数幂的运算性质(ab)n＝anbn知，2·5＝＝10.]

3．已知x＋x＝5，则的值为(　　)

A．5 B．23

C．25 D．27

B　[∵x＋x＝5，∴x＋2＋x－1＝25，

∴x＋x－1＝23.

∴＝x＋＝x＋x－1＝23.]

4.－ ＋ 的值为________．

　[原式＝－＋＝－＋＝.]

5．8×＋6________.

110　[原式＝＝2＋22×33＝2＋4×27＝110.]