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    (新)北师大版数学必修第一册教学讲义:第3章 §2 指数幂的运算性质
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质一等奖教案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第三章 指数运算与指数函数2 指数幂的运算性质一等奖教案,共6页。

    §2 指数幂的运算性质











    有理数指数幂的运算性质


    (1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).


    (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).


    (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).


    有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.


    思考:以下计算正确吗?若计算错误,应该如何计算


    eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2)) eq \s\up6(2× eq \f(1,2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2)) eq \s\up8(1)=-2


    提示:错误, eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,2))=21=2.





    1.用分数指数幂的形式表示a3· eq \r(a) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>0))的结果是( )


    A.a eq \s\up6(\f(5,2)) B.a eq \s\up6(\f(7,2)) C.a4 D.a eq \s\up6(\f(3,2))


    B [a3· eq \r(a)=a3·a eq \s\up6(\f(1,2))=a eq \s\up6(3+ eq \f(1,2))=a eq \s\up6(\f(7,2)).故选B.]


    2.下列各式运算错误的是( )


    A.(-a2b)2·(-ab2)3=-a7b8


    B.(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3


    C.(-a3)2·(-b2)3=a6b6


    D.[(a3)2·(-b2)3]3=-a18b18


    C [(-a3)2·(-b2)3=a6·(-b6)=-a6b6≠a6b6.]


    3. eq \r(6\f(1,4))- eq \r(3,3\f(3,8))+ eq \r(3,0.125) 的值为________.


    eq \f(3,2) [原式= eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))- eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up8(3))+ eq \r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up8(3))= eq \f(5,2)- eq \f(3,2)+ eq \f(1,2)= eq \f(3,2).]


    4.计算8 eq \s\up6(\f(1,4))× eq \r(4,2)+ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3,2)×\r(3))) eq \s\up8(6).


    [解] 原式=2 eq \s\up6(\f(3,4))×2 eq \s\up6(\f(1,4))+ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\s\up6(\f(1,3))×3\s\up6(\f(1,2))))6=2+22×33=2+4×27=110.








    对指数幂的运算性质的理解


    【例1】 (1)下列函数中,满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+1))= eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的是( )


    A.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=4x B.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=4-x


    C.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2x D.f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))=2-x


    (2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))=( )


    A.20 eq \s\up8(\r(2)) B.20 eq \s\up8(2\r(2))


    C.10 eq \s\up8(\r(2)) D.10 eq \s\up8(2\r(2))


    (1)D (2)A [(1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+1))=2-(x+1)= eq \f(1,2)×2-x= eq \f(1,2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x)).故选D.


    [(2)2 eq \s\up8(2\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))=4 eq \s\up8(\r(2))·5 eq \s\up8(\r(2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4×5)) eq \s\up8(\r(2))=20 eq \s\up8(\r(2)).]





    1.根据需要,指数幂的运算性质可正用、逆用和变形使用.


    2.运用幂的运算性质化简时,其底数必须大于零,对于底数小于零的,要先化为底数大于零的形式.如 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,4))先化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(22)) eq \s\up6(\f(1,4)).





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    1.下列运算结果中,正确的是( )


    A.a2·a3=a6 B. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-a2)) eq \s\up8(3)= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-a3)) eq \s\up8(2)


    C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)=a5 D. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-a2)) eq \s\up8(3)=-a6


    D [a2·a3=a5,A错;


    (-a2)3=(-1)3×a2×3=-a6,(-a3)2=(-1)2×a3×2=a6,B错;


    eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a2)) eq \s\up8(3)=a6,C错,故选D.]





    根式的化简与求值


    【例2】 计算下列各式:


    (1) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(3,5))) eq \s\up8(0)+2-2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(1,4))) eq \s\up6(- eq \f(1,2))-0.010.5;


    (2)0.064 eq \s\up6(- eq \f(1,3))- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8))) eq \s\up8(0)+[(-2)3] eq \s\up6(- eq \f(4,3))+16-0.75;


    (3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4))) eq \s\up6(- eq \f(1,2))· eq \f((\r(4ab-1))3,0.1-2(a3b-3)\s\up6(\f(1,2)))(a>0,b>0).


    [解] (1)原式=1+ eq \f(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,9))) eq \s\up6(\f(1,2))- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,100))) eq \s\up6(\f(1,2))=1+ eq \f(1,6)- eq \f(1,10)= eq \f(16,15).


    (2)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3= eq \f(5,2)-1+ eq \f(1,16)+ eq \f(1,8)= eq \f(27,16).


    (3)原式= eq \f(4\s\up6(\f(1,2))×4\s\up6(\f(3,2)),100)·a eq \s\up6(\f(3,2))·a eq \s\up6(- eq \f(3,2))·b eq \s\up6(- eq \f(3,2))·b eq \s\up6(\f(3,2))= eq \f(4,25)a0b0= eq \f(4,25).





    在进行幂和根式的化简时,一般先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行化简.





    eq \a\vs4\al([跟进训练])


    2.计算:


    (1)0.027 eq \s\up6(\f(1,3))- eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\f(1,4))) eq \s\up6(\f(1,2))+256 eq \s\up6(\f(3,4))+(2 eq \r(2)) eq \s\up6(\f(2,3))-3-1+π0;


    (2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c);


    (3)2 eq \r(3,a)÷4 eq \r(6,a·b)·3 eq \r(b3).


    [解] (1)原式=(0.33) eq \s\up6(\f(1,3))- eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up8(2))) eq \s\up6(\f(1,2))+(44) eq \s\up6(\f(3,4))+(2 eq \s\up6(\f(3,2))) eq \s\up6(\f(2,3))- eq \f(1,3)+1=0.3- eq \f(5,2)+43+2- eq \f(1,3)+1=64 eq \f(7,15).


    (2)原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c)=- eq \f(1,3)a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=- eq \f(1,3)ac-1=- eq \f(a,3c).


    (3)原式=2a eq \s\up6(\f(1,3))÷(4a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(1,6)))·(3b eq \s\up6(\f(3,2)))= eq \f(1,2)a eq \s\up6( eq \f(1,3)- eq \f(1,6))b eq \s\up6(- eq \f(1,6))·3b eq \s\up6(\f(3,2))= eq \f(3,2)a eq \s\up6(\f(1,6))b eq \s\up6(\f(4,3)).





    根据条件求值


    【例3】 已知a eq \s\up6(\f(1,2))+a eq \s\up6(- eq \f(1,2))= eq \r(5),求下列各式的值:


    (1)a+a-1;


    (2)a2+a-2.


    [思路点拨] 从待求式如何用已知式表示入手,可考虑用整体代换思想以及幂的运算性质的逆用的技巧求解.


    [解] (1)将a eq \s\up6(\f(1,2))+a eq \s\up6(- eq \f(1,2))= eq \r(5)两边平方,得a+a-1+2=5,所以a+a-1=3.


    (2)将a+a-1=3两边平方,得a2+a-2+2=9,所以a2+a-2=7.





    1.在本例条件不变的情况下,则a2-a-2=______.


    ±3 eq \r(5) [令y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45,


    ∴y=±3 eq \r(5),即a2-a-2=±3 eq \r(5).]


    2.若本例变为:已知a,b分别为x2-12x+9=0的两根,且a<b,求 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))-b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))+b\s\up6(\f(1,2)))值.


    [解] eq \f(a\s\up6(\f(1,2))-b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))+b\s\up6(\f(1,2)))


    = eq \f((a\s\up6(\f(1,2))-b\s\up6(\f(1,2)))2,(a\s\up6(\f(1,2))+b\s\up6(\f(1,2)))(a\s\up6(\f(1,2))-b\s\up6(\f(1,2))))= eq \f((a+b)-2(ab)\s\up6(\f(1,2)),a-b).①


    ∵a+b=12,ab=9,②


    ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=122-4×9=108.


    ∵a<b,∴a-b=-6 eq \r(3).③


    将②③代入①,得 eq \f(a\s\up6(\f(1,2))-b\s\up6(\f(1,2)),a\s\up6(\f(1,2))+b\s\up6(\f(1,2)))= eq \f(12-2×9\s\up6(\f(1,2)),-6\r(3))=- eq \f(\r(3),3).


    ,














    1.幂的运算中,结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能同时含有分母和负分数指数幂,若无特殊说明,结果一般用分数指数幂的形式表示.


    2.对于条件求值问题,要弄清已知与未知的联系,采用“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值.





    1.思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)


    (1)对任意实数a,am+n=aman.( )


    (2)当a>0时, eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(am)) eq \s\up8(n)=amn.( )


    (3)当a≠0时, eq \f(am,an)=am-n.( )


    [答案] (1)× (2)√ (3)√


    2.2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))=( )


    A.103 B.10 eq \s\up6( eq \r(3)) C.310 D.7 eq \s\up6( eq \r(3))


    B [由实数指数幂的运算性质(ab)n=anbn知,2 eq \s\up6( eq \r(3))·5 eq \s\up6( eq \r(3))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×5)) eq \s\up6( eq \r(3))=10 eq \s\up6( eq \r(3)).]


    3.已知x eq \s\up6(\f(1,2))+x eq \s\up6(- eq \f(1,2))=5,则 eq \f(x2+1,x)的值为( )


    A.5 B.23 C.25 D.27


    B [∵x eq \s\up6(\f(1,2))+x eq \s\up6(- eq \f(1,2))=5,∴x+2+x-1=25,


    ∴x+x-1=23.


    ∴ eq \f(x2+1,x)=x+ eq \f(1,x)=x+x-1=23.]


    4.已知10x=3,10y=4,求10 eq \s\up6(\f(3x-y,2))的值.


    [解] 10 eq \s\up6(\f(3x-y,2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(103x,10y))) eq \s\up6(\f(1,2))= eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10x))\s\up8(3),10y))) eq \s\up6(\f(1,2))= eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,4))) eq \s\up6(\f(1,2))= eq \f(3\r(3),2).


    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.掌握指数幂的运算性质.(重点)


    2.能用指数幂的运算性质对代数式进行化简与求值.(难点)
    通过指数幂的运算,培养数学运算素养.
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