专题13 二次函数一——【备考2023】中考数学二轮专题过关练学案（教师版+学生版）

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华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题13 二次函数一
一、单选题
1．（2022九上·青田期中）抛物线y=2(x-3)2+2的顶点坐标是（　　）
A．(-3，2) B．(3，2) C．(-3，-2) D．(3，-2)
2．（2022九上·宁波期中）对于二次函数y=x2-4x-1的图象，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上
B．与x轴有两个交点
C．抛物线的顶点坐标是（2，－5）
D．当x≥2时，y随x的增大而减小
3．（2022·泸县模拟）已知二次函数y=(x-h)2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3 的情况下，与其对应的函数值y的最小值为10，则h的值为（　　）
A．-2或4 B．0或6 C．1或3 D．-2或6
4．（2022九上·舟山月考）二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝-2，图象经过（1，0），下列结论中，正确的一项（　　)
A．c>0 B．4ac-b2>0 C．9a+c>3b D．5a>b
5．（2022九上·无为月考）将抛物线y=3x2+1向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y=3(x+2)2-4 B．y=3(x-2)2-5
C．y=3(x-2)2-4 D．y=3(x+2)2-5
6．（2022九上·南岗月考）将抛物线y=x2经过下面的平移可得到抛物线y=(x+3)2+4的是（　　）
A．向右平移3个单位，向下平移4个单位
B．向右平移3个单位，向上平移4个单位
C．向左平移3个单位，向下平移4个单位
D．向左平移3个单位，向上平移4个单位
7．（2022九上·拱墅期中）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
8．（2022九上·拱墅期中）若点A(-1，y1)，B(2，y2)，C(3.y3)在抛物线y=-x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3 9．（2022九上·齐齐哈尔月考）如图，已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②a+c0；④2a+b=0．其中正确结论的有（　　）

A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④
10．（2022九上·温州期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点G，正方形CDEF的边CD在x轴上，E，F在抛物线上，连结GA，GB，△ABG是正三角形，AB=2，则阴影部分的面积为（　　）

A．3-12 B．3-3 C．2-22 D．2-33
二、填空题
11．（2022九上·拱墅期中）用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m，则这个养鸡场最大面积为　 　m2.
12．（2022九上·齐齐哈尔月考）将抛物线y=x2向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为　 　．
13．（2022九上·慈溪期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=49x2+5的一部分，则杯口的口径AC为　 　.

14．（2022九上·莲都期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上有两点A（a，﹣1）和B（b，﹣1），则a2+2b﹣3的值等于 　 　.
15．（2021九上·南宁期中）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y=x2上的两个动点，且OA⊥OB.连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值为　 　.
16．（2022九上·慈溪期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为　 　．

三、解答题
17．已知二次函数的图象顶点为P(-2，2)．且过点为A(0，-2)，求该抛物线的解析式．
18．（2022九上·龙口期中）某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件．为了增加销量，每降价1元，日销售量可增加2件．在确保盈利的前提下，当降价多少元时，每天的利润最大?最大利润是多少?
19．（2022九上·孝义期中）某农户种植有图1所示蔬菜大棚，其截面示意图如图2所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中OA是地面所在的水平线，点O是塑料顶棚与地面的交点，AB是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点O的水平距离是6米，到地面OA的高度是3米．现以OA所在直线为x轴，过点O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系．若保温墙AB到点O的距离OA=8米．请你求出保温墙AB的高度．

四、综合题
20．（2022九上·南开期中）如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD≥AB（即长不小于宽），设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米．

（1）若矩形ABCD的面积150平方米，求宽AB的长；
（2）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD面积最大，并求出最大面积．

答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=2(x-3)2+2的顶点坐标是(3，2)，
故答案为：B.

【分析】抛物线y=a(x-h)2+k（a≠0）顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、∵二次函数y=x2-4x-1中，a＝1，则a＞0，
∴抛物线开口向上，故此选项正确，不符合题意；
B、当y＝0时，0=x2-4x-1，
对于方程x2-4x-1=0来说，
∵Δ=(-4)2-4×1×(-1)=20>0，
∴方程x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则二次函数y=x2-4x-1的图象
与x轴有两个交点，故此选项正确，不符合题意；
C、∵y=x2-4x-1＝(x-2)2-5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，－5），故此选项正确，不符合题意；
D、∵y=x2-4x-1＝(x-2)2-5，
∴抛物线的对称轴是x＝2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴当x≥2时，y随x的增大而增大，故此选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由抛物线的二次项系数a=1＞0，可知函数图象开口向上，据此判断A；令抛物线解析式中的y=0求出对应一元二次方程根的判别式b2-4ac的值，由判别式的值＞0可知方程有两个不相等的实数根，进而即可得出抛物线与x轴有两个不同的交点，据此判断B；将抛物线的解析式配成顶点式，可得其顶点坐标，据此判断C；由于抛物线的开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，据此可判断D.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=（x-h）2+1，
∴a=1＞0，抛物线的开口向上，
∴当x＜h时y随x的增大而减小，当x＞h时y随x的增大而增大，
当h＜1≤x≤3时，x=1时y的值最小为10，
∴（1-h）2+1=10，
解之：h1=-2，h2=4（舍去）；
当＜1≤x≤3＜h时，当x=3时y的值最小为10，
∴（3-h）2+1=10，
解之：h1=6，h2=0（舍去）
∴h的值为-2或6.
故答案为：D
【分析】利用函数解析式可知a＞0，抛物线的开口向上，当x＜h时y随x的增大而减小，当x＞h时y随x的增大而增大；再分情况讨论：当h＜1≤x≤3时，x=1时y的值最小为10，可得到关于h的方程，解方程求出符合题意的h的值；当＜1≤x≤3＜h时，当x=3时y的值最小为10，可得到关于h的方程，解方程求出符合题意的h的值；综上所述可得到h的值.
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：如图，

∵ 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x＝-2，图象经过（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-5，0），
∴c＜0，故A不符合题意；
∴b2-4ac＞0即4ac-b2＜0，故B不符合题意；
当x=-3时y＜0
∴9a-3b+c＜0即9a+c＜3b，故C不符合题意；
∵-b2a=-2
∴b=4a，
∵图象开口向上，
∴a＞0，
∴a+b＞b即a+4a＞b，
∴5a＞b，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用已知条件画出图象，利用抛物线与y轴的交点位置，可对A作出判断；同时可求出抛物线与x轴的两一个交点坐标，可知b2-4ac＞0，可对B作出判断；利用图象可知当x=3时y＜0，可对C作出判断；利用抛物线的对称轴和开口方向，可知a＞0，b=4a，利用不等式的性质，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：将抛物线y=3x2+1向右平移2个单位所得直线解析式为：y=3(x-2)2+1；
再向下平移5个单位为：y=3(x-2)2+1-5=3(x-2)2-4，
故答案为：C．

【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：A、将抛物线y=x2向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线y=(x-3)2-4，不符题意；
B、将抛物线y=x2向右平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线y=(x-3)2+4，不符题意；
C、将抛物线y=x2向左平移3个单位，向下平移4个单位，得到抛物线y=(x+3)2-4，不符题意；
D、将抛物线y=x2向左平移3个单位，向上平移4个单位，得到抛物线y=(x+3)2+4，符合题意；
故答案为：D．

【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，
∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；
当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4.
故答案为：C.
【分析】根据对称轴为直线x=-1可得b的值，表示出抛物线的解析式，一元二次方程-x2+bx+3-t＝0的实数根可以看作y＝-x2-2x+3与函数y＝t的图象有交点，求出x=-2、3以及函数在-2＜x＜3上的最大值，据此可得t的范围.
8．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵y=-x2+4x+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-4-2=2，
∵2-(-1)>3-2>2-2，
∴y1 故答案为：D.
【分析】根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据距离对称轴越远的点对应的函数值越小进行比较.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可知：抛物线的开口向下，a<0，
对称轴为：x=-b2a=1，
∴b=-2a>0，2a+b=0，故④符合题意；
抛物线与y轴的交点在x轴的上方，c>0，
∴abc<0，故①不符合题意；
由图象可知：当x=-1时，图象在x轴的下方，
∴a-b+c<0，
∴a+c ∵抛物线关于x=1对称，
∴x=2和x=0的函数值相等，
∴4a+2b+c=c>0；故③符合题意；
综上，符合题意是：②③④；
故答案为：C．

【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等边三角形的性质；正方形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，设ED交BG于点H，

∵△ABG是正三角形，AB=2，
∴AO=BO=1，OG=AG2-AO2=3
∴G(0，3)，A(-1，0)，B(1，0)
设过A，B，G的抛物线解析式为y=ax2+3，
将点A代入，得0=a+3
∴a=-3
∴抛物线解析式为y=-3x2+3，
∵四边形CDEF是正方形，且关于y轴对称，
∴OC=OD=12DE
设E(m，2m)(m>0)，
∵E(m，2m)在y=-3x2+3上，
∴2m=-3m2+3，
解得m1=33，m2=-3（舍去）
∵G(0，3)，B(1，0)，
设直线BG的解析式为y=kx+b，
∴k+b=0b=3
∴k=-3b=3
∴直线BG的解析式为y=-3x+3
∵H在DE上，
∴H的横坐标为33
代入y=-3x+3
得y=-1+3
∴H(33，-1+3)
∴DH=3-1，OG=3，OD=33
∴阴影部分面积为2S梯形GODH=2×12(3-1+3)×33=2-33
故答案为：D.
【分析】设ED交BG于点H，根据等边三角形的性质可得AO=BO=1，利用勾股定理算出OG的长，从而得出点G、A、B的坐标，利用待定系数法求出经过这三点的抛物线的解析式，根据正方形的性质设E（m，2m），将该点坐标代入抛物线的解析式，可算出m的值；利用待定相反数求出直线BG的解析式，将H的横坐标代入直线BG，算出对应的函数值可得点H的坐标，从而可得DH、OG、OD的长，进而根据阴影部分的面积=2梯形ODHG的面积，利用梯形面积公式计算即可.
11．【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则另一边长为(24-2x)米，养鸡场面积Sm2，
则S=x⋅(24-2x)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72，
∵-2<0，
∴当x>6时，S随x的增大而减小，
∵墙长10m，
∴24-2x>024-2x≤10，
解得7≤x<12，
∴当x=7时，S最大，最大值为70.
故答案为：70.
【分析】设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则另一边长为(24-2x)米，养鸡场面积Sm2，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，由墙长为10m可得0<24-2x≤10，求出x的范围，然后利用二次函数的性质进行解答.
12．【答案】y=(x+2)2-3
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的法则可知，将抛物线y=x2向向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的解析式为y=(x+2)2-3．
故答案为：y=(x+2)2-3．

【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
13．【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵OD为14，
∴令14=49x2+5，
解得x=±92，
∴A(-92，14)，C(92，14)，
∴AC=92-(-92)=9，
故答案为：9.
【分析】令y=14，求出x的值，可得点A、C的坐标，据此不难求出AC的值.
14．【答案】2022
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A（a，﹣1）和B（b，﹣1）在二次函数y＝x2﹣2x﹣2022的图象上，
∴a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，
∴a+b＝2，
∵将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022，
∴a2﹣2a﹣2022＝﹣1，
∴a2＝2a+2021，
∴a2+2b﹣3＝2a+2021+2b﹣3＝2（a+b）+2018＝4+2018＝2022，
故答案为：2022.

【分析】由题意可知a、b是方程x2﹣2x﹣2022＝﹣1的两个根，则a+b＝2，将A（a，﹣1）代入y＝x2﹣2x﹣2022中可得a2＝2a+2021，然后整体代入计算即可.
15．【答案】12
【知识点】点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，

设OE=a，OF=b，由抛物线解析式为y=x2，
则AE=a2，BF=b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴DGBH＝AGAH，即m-a2b2-a2＝aa+b.
化简得：m=ab.
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∠AEO=∠BFO=90°，
∴△AEO∽△OFB.
∴AEOF＝EOBF，
即a2b＝ab2，
化简得ab=1.
则m=ab=1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）.
∵∠DCO=90°，DO=1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为12DO=12时，点C到y轴的距离最大.
故答案为：12.
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE=a，OF=b，则AE=a2，BF=b2，作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设D（0，m），易证△ADG∽△ABH，根据相似三角形的性质可得m=ab，由同角的余角相等可得∠BOF=∠EAO，证明△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可得ab=1，则m=ab=1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1），推出点C是在以DO为直径的圆上运动，故当点C到y轴距离为12DO时，点C到y轴的距离最大，据此解答.
16．【答案】-5或-7
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵点A在直线AB：y＝kx+3上，
∴0＝3k+3，解得k＝-1，
∴直线AB为y＝-x+3，
∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，
∴x-3+x＝7，解得x＝5，
∴B（5，-2），
∴B到对称轴的距离为5-3＝2，B到x轴的距离为2，
若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，
①当AB是正方形对角线时，P（3，-2），则Q（5，0），
∵点Q在抛物线上，
∴把Q（5，0）代入y＝-x2+6x+c得，0＝-25+30+c，解得c＝-5；
②当AB是正方形的边时，P（3，-4），则Q（1，-2），
∵点Q在抛物线上，
把Q（1，-2）代入y＝-x2+6x+c得，-2＝-1+6+c，解得c＝-7，
∴综上所述，c的值为-5或-7.
故答案为：-5或-7．
【分析】根据抛物线的对称轴求得A的坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式，从而求得B的坐标；根据若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，分两种情况：①AB是正方形的对角线，求得P、Q的坐标；②AB是正方形的边，求得P、Q的坐标，再分别把Q的坐标代入代入抛物线解析式即可求得c的值．
17．【答案】解：设抛物线的解析式为 y=a(x+2)2+2 ，
把 A(0，-2) 代入得 4a+2=-2 ，解得 a=-1 ，
所以抛物线的解析式为∶ y=-(x+2)2+2
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用二次函数的顶点坐标，因此设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+2，再将点A的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到抛物线的解析式.
18．【答案】解：设每件降价x元，每天售出商品的利润为y元，
y=（40-18-x）（20+2x）
=-2x2+24x+440
=-2（x2-12x-220）
=-2（x-6）2+512，
当x=6时，y有最大值 512，
∴当降价6元时，每天的利润最大，最大利润是512元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润=每件的利润×销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
19．【答案】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为y=a(x-6)2+3．
∵点O(0，0)，把x=0，y=0代入抛物线解析式，
得：36a+3=0．解得：a=-112．
∴抛物线的解析式为y=-112(x-6)2+3
当x=8时，y=-112(8-6)2+3=83．
答：保温墙AB的高度是83米．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】由题意知抛物线的顶点为（6，3），可设顶点式y=a(x-6)2+3，再将（0，0）代入求出a值即得解析式， 然后将x=8代入求出y值即得AB的长.
20．【答案】（1）解：设矩形的宽AB的长为x米，则有AD=(40-2x)m，
∴x(40-2x)=150，
解得：x1=5，x2=15，
当x=15时，则AD=10m，不满足AD≥AB，
∴宽AB的长为5米；
（2）解：设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米，由题意得：
y=x(40-2x)=-2x2+40x，
∵AD≥AB，
∴40-2x≥x，
解得：0 ∴函数y=-2x2+40x的自变量取值范围为0 （3）解：由（2）可知y=-2x2+40x，
∴-2<0，即开口向下，对称轴为直线x=10，
∵自变量x取值范围为0 ∴当x=10时，矩形ABCD面积最大，最大面积为y=-2×102+40×10=200；
答：当矩形地块的宽为10米时，矩形ABCD面积最大，最大面积为200平方米．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设矩形的宽AB的长为x米，则有AD=(40-2x)m，根据题意列出方程x(40-2x)=150，再求解即可；
（2）设矩形的宽AB的长为x米，矩形ABCD面积为y平方米，利用矩形的面积公式可得y=x(40-2x)=-2x2+40x，再求出x的取值范围即可；
（3）利用二次函数的性质求解即可。