数学选择性必修 第三册第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和当堂检测题

【精编】5.3.2 等比数列的前n项和-1课堂练习

一．填空题

1．已知等比数列的各项均为正数，且，则___________.

2．已知在数列中，，，其前n项和为．给出下列四个结论：

①时，；

②；

③当时，数列是递增数列；

④对任意，存在，使得数列成等比数列．

其中所有正确结论的序号是___________．

3．记为等比数列的前项和，公比为，满足，则数列的通项公式为_________．

4．已知等比数列，，满足，则的值为___________.

5．等比数列的前项和为，数列为单调递增数列，且数列为单调递减数列，写出满足上述条件的一个数列的通项公式____________.

6．国家男子足球队某运动员一脚把球开到32米高处，从此处开始计算，假设足球每次着地后又弹回到原来高度的一半落下，则第4次着地时，该球所经过的总路程为________米；则第5次着地时，该球所经过的总路程为________米．

7．已知等差数列的前项和为，，，成等比数列，且，则___________．

8．已知是数列的前n项和，且满足，则___________.

9．已知数列的前项和为，且满足，则___________.

10．在等比数列中，，若，，则______.

11．已知在等比数列中，且成等差数列﹐则的通项公式_________．

12．设为等比数列的前项和，且，，则______.

13．正三棱锥中，，侧棱长为2，点是棱的中点，定义集合如下：点是棱上异于的一点，使得()，我们约定：若除以3的余数，则(例如：？等等)

（1）若，求三棱锥的体积；

（2）若是一个只有两个元素的有限集，求的范围；

（3）若是一个无限集，求各线段，，，的长度之和(用表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为())

14．写出一个满足的等比数列的通项公式______.

15．在等比数列中，，，则的前项和为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据对数的运算性质，结合等比数列下标的性质进行求解即可.

详解：解析：因为等比数列的各项均为正数，且，

所以

，

故答案为：

2．【答案】①②④

【解析】分析：①依题意可得，即可求出，②表示出，根据二次函数的性质即可判断；利用特殊值判断③，④利用构造法构造数列成等比数列，即可得到结论；

详解：解：①当时，，则，

即，则，

则，，

则；故①正确．

②因为，，所以，，

即，故②正确；

③当时，不妨设，

则由，，

得，

则，

则，故数列是递增数列错误；故③错误．

④设，

则，

，

，即

存在，数列成等比数列，此时公比；故④正确；

故答案为：①②④

3．【答案】

【解析】分析：先利用时求得再化简已知式为，通过时，利用等比数列通项公式计算，即得结果.

详解：当时，所以，即，而，所以

由，

得，而，

所以

故当时，即，而，

所以.因为，所以，

故.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：

本题的解题关键在于通过已知式得到，再结合等比数列公式即突破难点.

4．【答案】2021

【解析】分析：利用等比数列通项公式将条件中的等式转化为基本量和的方程，解方程可得.

详解：设等比数列的首项是，公比是，则，

所以，，.

故答案为：2021.

5．【答案】(答案不唯一)

【解析】分析：根据题意可判断出数列的公比，，然后举例代入求解即可判断.

详解：由题意，数列为单调递增的等比数列，数列为单调递减数列，所以可得公比，且，例如，，此时可得为单调递增的等比数列，为单调递减的数列，符合题意.

故答案为：(答案不唯一)

6．【答案】88    92 

【解析】分析：根据题目条件，确定球反弹的高度构成一等比数列，再根据实际情况确定所求路程.

详解：由题设，球反弹的高度构成一公比为的等比数列，且首项为32米，

记该数列为，则

故第4次着地时，该球所经过的总路程为

米.

第5次着地时，该球所经过的总路程为

米.

故答案为：①；②.

7．【答案】2或5

【解析】分析：由已知得，再由，，成等比数列得可得答案.

详解：，∴，，，成等比数列，则，

即，解得或，故或5.

故答案为：2或5.

8．【答案】

【解析】分析：利用可得出是首项为，公比为的等比数列，即可得出.

详解：由于①，

则当时，得，即；

当时，得②；

由①-②得，即，

则对成立，

由等比数列的定义知是首项为，公比为的等比数列，

故.

故答案为：.

9．【答案】

【解析】分析：令求出的值，令，由可得出，两式作差可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的值.

详解：当时，则有，可得；

当时，由可得，

上述两式作差得，所以，，

所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：已知与的关系求的步骤：

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）对时的情况进行检验，若适合的通项，则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.

10．【答案】16

【解析】根据等比数列的性质， 在等比数列中， 若，，，，且，则有可得：

,又，所以，又∵，∴，

故答案为：16 ．

11．【答案】

【解析】分析：由等差中项列式，然后将式子表示为，然后代入，计算公比，即可得等比数列的通项公式.

详解：因为成等差数列，所以，因为数列是等比数列，所以，且，所以，得或（舍），所以.

故答案为：.

12．【答案】40

【解析】分析：根据等比数列的求和公式列方程计算即可求解.

详解：设数列公比为，显然，

则且，

故，则，故，

所以.

故答案为：40

13．【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】分析：由正三棱锥及()可知是等腰三角形，则可得数列是一个以为首项，为公比的等比数列.

（1）可推知时，三棱锥为棱长为1的正四面体，则可求出其高．底面积，从而求出体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集等价于且，由等比数列的可分别求出和，解不等式组，即可求出的范围；

（3）根据是一个无限集可知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列，结合无穷等比数列的求和公式，即可得到结果.

详解：点是正三棱锥棱上异于的一点，

且()

是等腰三角形，且．为两腰

又正三棱锥中，，

，

，

则数列是一个以为首项，

为公比的等比数列，

（1）当时，，

且，则三棱锥为正四面体，

其高，底面积，

故其体积；

（2）是一个只有两个元素的有限集，

，即

由，

得，，

由解得

；

（3）是一个无限集，且，

则数列是一个以为首项，

为公比的无穷等比数列，

.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是发现是等腰三角形，且．为两腰，从而得到，则可得知数列是一个以为首项， 为公比的无穷等比数列.

14．【答案】（取一个值即可）

【解析】分析：由条件可得，然后可得答案.

详解：设的公比为，由可得，即，所以，

故答案为：（取一个值即可）

15．【答案】

【解析】分析：由，，利用“ ”法求解,

详解：设等比数列的公比为，

因为，，

所以，

解得，

则.

所以的前项和为.

故答案为：