数学选择性必修 第三册5.4 数列的应用复习练习题

【优质】5.4 数列的应用-1随堂练习

一．填空题

1．设正项数列，已知，记，则数列的前10项和为______．

2．已知数列的前n项和为，且满足，则______________．

3．计算：________.

4．某地区森林原有木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材的存量，则的表达式是________.

5．已知数列的前n项和为，，，则_______．

6．已知数列与的前项和分别为，，且， ，，，则的取值范围是__________．

7．在数列中，，，记为数列的前项和，则___________.

8．设，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得_________．

9．设数列的前项之积为，且，，若，则数列的前项和= ________

10．在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列的首项，最长弦长为，若公差，那么n的取值集合为________.

11．已知，记数列的前n项和为，且对于任意的，，则实数t 的最大值是________.

12．数列的前项和为，且，且，则___________.

13．已知数列中，，（），则________

14．记数列的前项和为，已知，且，则的最小值为_______．

15．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.

参考答案与试题解析

1．【答案】10

【解析】分析：根据，得到，两式相除得到数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，然后分别求得，得到求解.

详解：∵，

∴当时，．

两式相除可得，

∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，

∴，，

∴，

则，

则的前10项和为．

故答案为：10

2．【答案】

【解析】分析：由，推得，得到数列表示首项为，公比为的等比数列，求得和 ，进而得到，再结合等比数列求和公式，即可求解.

详解：由数列的前项和，且满足，

当时，，

两式相减，可得，即，

令，可得，解得，

所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，

则，所以，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：

由，利用，推得从而证得数列为等比数列是解答本题的关键.

3．【答案】1

【解析】先求出和，再由极限法则求极限．

【详解】

，

∴．

故答案为：1.

【点睛】

本题考查数列的极限，解题时对于求极限式性质化简，也就是象和式，必须计算后再求极限．

4．【答案】

【解析】根据题意得出数列的递推公式，然后利用构造法可得出数列的通项公式.

详解：由题意可知，，第年后，，

则，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，

则，因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的应用，根据题意得出数列的递推公式，并利用构造法求解是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

5．【答案】1297

【解析】分析：用代换中的，然后两式相减可得，然后利用并项求和法和等差数列的前项和公式计算．

详解：因为，所以，

两式相减得（），

所以，，…，，

所以．

故答案为：1297.

【点睛】

方法点睛：本题考查数列的和，考查分组（并项）求和法．数列求和的常用方法：

设数列是等差数列，是等比数列，

（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和；

（2）错位相减法：数列的前项和应用错位相减法；

（3）裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法；

（4）分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法，如果数列通项公式中出现时，或者部分项的和出现某种规律，可能利用并项求和，

（5）倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和．

6．【答案】中对应的那些值

【解析】分析：根据递推关系式求出，代入得，再根据裂项求和法求出，再根据数列的单调性可求出结果.

详解：当时，得，因为，所以，

当时，，，

所以，

因为，所以，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，

所以，

所以

，

因为数列为递增数列，所以，又，

所以的取值范围是.

故答案为：中 对应的那些值.

【点睛】

关键点点睛：利用裂项求和法求出是解题关键.

7．【答案】

【解析】分析：当时，构造，再变形得，变形得，有，，再代入求，并利用数列的单调性，最后求极限.

详解：解：，可得，，

又，

两式相除可得，即，

则，

即有，，

所以

，

由，，可得，且为递增数列，

当时，，则，即有，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题的关键是递推公式的变形，，计算数列的前项和，利用裂项相消法求和.

8．【答案】

【解析】由题干可证出，再由倒序相加法可得所求为对的组合，即个，计算即可得解.

详解：，

，

因此

，

所以

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查倒序相加法求数列的前项和，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

9．【答案】

【解析】分析：由已知可得是首项为，公差为的等差数列，求得，即可得出，进而得出，再分组求和可得.

详解：，，

，

是首项为，公差为的等差数列，

，则，

当时，，

，

.

故答案为：.

10．【答案】

【解析】先由圆的几何性质，最短的弦为垂直于OA的弦，最长弦为直径，得到，因此公差，结合公差，即得解.

详解：设，圆心，半径为，

最短的弦为垂直于OA的弦，且，最长弦为直径：，

公差：

因此：n的取值集合为.

【点睛】

本题考查了圆的性质和数列综合，考查了学生综合分析，转化于划归，数学运算的能力，属于中档题.

11．【答案】162

【解析】分析：将数列通项化为，裂项求和求得，又对于任意的，，分类参数t，得到关于n的表达式，借助基本不等式求得最值.

详解：由题知，，

则

，

又对于任意的，，

则，即，

由，当时等号成立，

则实数t 的最大值是162.

故答案为：162

12．【答案】

【解析】分析：由求得，又可得，根据，求出，又因为，代入数据求解即可．

详解：由，又，得

故答案为：

13．【答案】

【解析】利用累加法求解数列的通项公式，然后求解数列的极限即可．

【详解】

数列中，，，

可得，，，，

累加可得：，

则．

故答案为：．

【点睛】

本题考查数列的极限的应用，数列求和的方法，考查计算能力．

14．【答案】16

【解析】分析：由三角函数的性质可得当时，；当时，；利用分组求和可得，进而可得，利用基本不等式即可得解.

详解：当时，，

即；

当时，，

即；

，

，

，

又，，，

，

当且仅当时等号成立.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了三角函数的性质和基本不等式的应用，考查了分组求和法求数列前n项和的应用，属于中档题.

15．【答案】

【解析】观察图案找规律，时，有个，时，有个，时，有个， ，时，有个，即可得出答案.

详解：观察数列中的星星构成的规律：

当时，有个，

当时，有个，

当时，有个，

所以当时，有个，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了数列的递推与求数列中的项，属于基础题