数学选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和学案

这是一份数学选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和学案，共12页。


5.3.2　等比数列的前n项和
学 习 任 务
核 心 素 养
1．掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点)
2．理解等比数列前n项和的性质．(易混点)
3．会用错位相减法求数列的和．(难点)
1．通过等比数列前n项和公式的学习，培养逻辑推理、数学运算的素养．
2．借助错位相减法求数列的和的方法，提升数学运算素养．


计算机已经成为现代生活不可缺少的一部分，而且计算机也在不断更新换代，同时，计算机病毒也在不断升级．某种计算机病毒用两分钟就将病毒由一台计算机传给两台，这两台又用两分钟各传给未感染的另外两台计算机，如此继续下去．
问题：如果病毒按照上述方式共传播了30分钟，那么受该病毒感染的计算机共有多少台？
[提示]　216－2．
知识点1　等比数列的前n项和公式

1．等比数列求和应注意什么？
[提示]　公比q是否等于1．
(1)q≠1时，公式Sn＝与Sn＝是等价的，利用an＝a1qn－1可以实现它们之间的相互转化．
当已知a1，q与n时，用Sn＝较方便；
当已知a1，q与an时，用Sn＝较方便．
(2)对于等比数列的a1，an，n，q，Sn五个相关量，知道其中任意三个量，都可以利用方程求出其余两个量．
1．已知正项等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项和为(　　)
A．63　　　B．64　　　C．127　　　D．128
C　[由题意可知，a5＝a1q4，即q4＝＝16，
又q>0，∴q＝2．
∴S7＝＝127，故选C．]
知识点2　等比数列前n项和公式的函数特性
(1)当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是Sn＝，它可以变形为Sn＝－·qn＋，设A＝，则上式可写成Sn＝－Aqn＋A的形式．
则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是函数y＝－Aqx＋A图像上的一群孤立的点．
由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn是一个关于n的指数型函数与一个常数的和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数．
(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图像是正比例函数y＝a1x图像上的一群孤立的点．
2．如果数列{an}的前n项和为Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)，那么这个数列一定是等比数列吗？
[提示]　一定．理由如下：由于Sn＝－Aqn＋A，则当n＝1时，S1＝a1＝A(1－q)；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－Aqn＋A)－(－Aqn－1＋A)＝Aqn－1(1－q)，而当n＝1时也符合该式．故数列{an}的通项公式为an＝Aqn－1(1－q)(n∈N＋)，并且＝＝q(常数)，则数列{an}是等比数列，其中首项为a1＝A(1－q)，公比为q．
由上可知，“数列{an}是等比数列⇔Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)”可作为判定非常数列{an}是等比数列的一个依据．
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图像上，则m＝__________．
－3　[∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图像上，
∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m．
由Sn＝－Aqn＋A，比较可得m＝－3．]
知识点3　等比数列前n项和的性质
设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则利用等比数列的通项公式及前n项和公式可推得等比数列的前n项和具有以下性质．
(1)当q＝1时，＝；当q≠±1时，＝．
(2)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm．
(3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和．若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q．
(4)当q≠－1时，连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)仍组成等比数列(公比为qm，m≥2)．
(1)当q＝－1且k为偶数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…不是等比数列；
(2)当q≠－1，或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列．
由(1)(2)可知，当连续m项的和(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)不为零时，性质(4)才成立．
拓展：若{an}是公比为q的等比数列，则：(1)前n项积Tn＝aq；
(2)连续m项的积仍为等比数列，即Tm，，，…是等比数列，公比为qm2．
3．已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比q＝_______．
2　[法一：设S偶与S奇分别是该等比数列偶数项的和与奇数项的和，则S偶＝q·S奇，∴q＝＝2．
法二：设该等比数列的项数为2n，易得该等比数列的奇数项和偶数项也分别成等比数列，且公比均为q2，
∴＝85　①，＝170　②，
∴②÷①得，q＝2．

类型1　等比数列前n项和公式基本量的运算
【例1】　(对接教材P37例1)在等比数列{an}中．
(1)若q＝2，S4＝1，求S8；
(2)若a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求a4和S5．
[解]　(1)法一：设首项为a1，
∵q＝2，S4＝1，
∴＝1，即a1＝，
∴S8＝＝＝17．
法二：∵S4＝＝1，且q＝2，
∴S8＝＝(1＋q4)＝S4·(1＋q4)＝1×(1＋24)＝17．
(2)设公比为q，由通项公式及已知条件得
即
∵a1≠0，1＋q2≠0，∴②÷①得，q3＝，即q＝，
∴a1＝8．
∴a4＝a1q3＝8×＝1，
S5＝＝＝．

1．解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．
2．运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．

[跟进训练]
1．在等比数列{an}中，其前n项和为Sn．
(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；
(2)已知S4＝1，S8＝17，求an．
[解]　(1)由题意知
解得或
从而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝．
(2)设{an}的公比为q，由S4＝1，S8＝17知q≠1，
所以
①÷②得＝，
解得q＝±2，
所以或
所以an＝或an＝．
类型2　等比数列前n项和的性质及应用
【例2】　已知在等比数列{an}中，S10＝10，S20＝30，则S30＝__________．
70　[设等比数列{an}的公比为q，∵S20≠2S10，∴q≠1．
∵S10≠S20，∴q≠－1．
法一：由等比数列的前n项和公式，得

②÷①得1＋q10＝3，故q10＝2．
S30＝＝×(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋22)＝70．
法二：由性质得S10，S20－S10，S30－S20仍成等比数列，则(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10(S30－30)，得S30＝70．
法三：由性质得S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，
∴q10＝2，∴S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70．
法四：运用性质得＝，即＝，∴q10＝2．
又＝，∴S30＝70．

(变条件)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(　　)
A．16　　　B．26　　　C．30　　　D．80
C　[设等比数列的公比为q，且注意到S3n＝14≠3×2＝3Sn，所以q≠1．
法一：由已知有Sn＝＝2　①，S3n＝＝14　②，
②÷①，得q2n＋qn＋1＝7，即q2n＋qn－6＝0，变形得(qn＋3)·(qn－2)＝0．
由于数列各项均为正数，所以qn＋3>0，qn－2＝0，所以qn＝2，即q＝．故a1＝＝2(－1)，
所以S4n＝＝＝30．
法二：S4n＝＝＝＋qn＝Sn＋qnS3n，这个式子表示出了S4n，Sn，S3n之间的关系，要求S4n只需求得qn即可．
由于S3n＝(a1＋a2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋a2n)＋(a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n)＝Sn＋qnSn＋q2nSn＝Sn(1＋qn＋q2n)，所以q2n＋qn－6＝0，注意到an>0，所以qn＝2，所以S4n＝Sn＋qnS3n＝2＋2×14＝30．
法三：易得q≠－1，根据性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．由an>0得，S2n>0，
设S2n＝x(x>0)，则2，x－2，14－x成等比数列，故(x－2)2＝2(14－x)，解得x＝6，
由S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列，可得4(S4n－14)＝82，解得S4n＝30．
法四：(特殊值法)取n＝1，则a1＝S1＝2，S3＝＝14，即q2＋q－6＝0，注意到an>0，所以q＝2，从而S4＝＝30．]

相比较而言，法二保持了法一的一般性，省去了由qn＝2开方求出q，再消去q的麻烦，并且在此过程中运用了公式Sm＋n＝Sn＋qnSm＝Sm＋qmSn，简化了计算.

[跟进训练]
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．9　　　　B．7　　　　 C．5　　　　D．4
B　[∵＝3，∴S2 020＝3S1 010，∴＝2．又根据等比数列的性质，可知S3 030－S2 020，S2 020－S1 010，S1 010成等比数列，∴＝＝2，
∴＝4，∴＝7．故选B．]
类型3　错位相减法求和

1．由项数相等的等差数列{n}与等比数列{2n}相应项的积构成新的数列{n·2n}是等比数列吗？是等差数列吗？该数列的前n项和Sn的表达式是什么？
[提示]　由等差数列及等比数列的定义可知数列{n·2n}既不是等差数列，也不是等比数列．该数列的前n项和Sn的表达式为Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n．
2．在等式 Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n两边同乘以数列{2n}的公比后，该等式的变形形式是什么？认真观察两式的结构特征，你能将求Sn的问题转化为等比数列的前n项和问题吗？
[提示]　在等式Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
两边同乘以{2n}的公比可变形为
2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②
②－①得：Sn＝－1·21－22－23－24－…－2n＋n·2n＋1
＝－(21＋22＋23＋…＋2n)＋n·2n＋1．
此时可把求Sn的问题转化为求等比数列{2n}的前n项和问题．我们把这种求由一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}相应项的积构成的数列{anbn}前n项和的方法叫错位相减法．

【例3】　设数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n，数列{bn}的通项公式为bn＝xn－1(x≠0)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．
[思路点拨]　由an＝完成第(1)问；由题设知{an}为等差数列，{bn}为等比数列，因此可用错位相减法求Tn．
[解]　(1)∵an＝即an＝
当n＝1时，an＝2n也成立，∴an＝2n，即数列{an}的通项公式为an＝2n．
(2)由an＝2n，bn＝xn－1且cn＝anbn可得cn＝2nxn－1，
Tn＝2＋4x＋6x2＋8x3＋…＋2nxn－1， ①
则xTn＝2x＋4x2＋6x3＋8x4＋…＋2nxn． ②
①－②，得(1－x)Tn＝2＋2x＋2x2＋…＋2xn－1－2nxn．
当x≠1时，(1－x)Tn＝2×－2nxn，
∴Tn＝．
当x＝1时，Tn＝2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
∴Tn＝

错位相减法的适用范围及注意事项
(1)适用范围：它主要适用于{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和．
(2)注意事项：①利用“错位相减法”时，在写出Sn与qSn的表达式时，应注意使两式错对齐，以便于作差，正确写出(1－q)Sn的表达式．
②利用此法时要注意讨论公比q是否等于1的情况．

[跟进训练]
3．＋＋＋…＋＝________．
　[令Sn＝＋＋＋…＋，①
则Sn＝＋＋＋…＋＋，②
由①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－
＝－，
得Sn＝2－－＝．]

1．在公比为整数的等比数列{an}中，a1－a2＝3，a3＝4，则{an}的前5项和为(　　)
A．10　　　B．　　　C．11　　　D．12
C　[设公比为q(q∈Z)，则a1－a2＝a1－a1q＝3，a3＝a1q2＝4，求解可得q＝－2，a1＝1，则{an}的前5项和为＝11．]
2．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝(　　)
A．3 B．4 C． D．
C　[易知等比数列{an}的首项为a1，则＝＝．]
3．设Sn为等比数列{an}的前n项和，若2a3＋a6＝0，则＝(　　)
A．－1 B．1 C．－2 D．2
A　[设数列{an}的公比为q，由2a3＋a6＝0，得a3(2＋q3)＝0．因为a3≠0，所以2＋q3＝0，则q3＝－2，故＝＝1＋q3＝－1．]
4．等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1＝________．
4　[由S5＝＝44，解得a1＝4．]
5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝5n＋k，则实数k＝________．
－1　[法一：当n＝1时，a1＝S1＝5＋k，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5n＋k)－(5n－1＋k)＝5n－5n－1＝4·5n－1．由题意知{an}为等比数列，
∴a1＝5＋k＝4，∴k＝－1．
法二：由题意，{an}是等比数列，a1＝5＋k，a2＝S2－S1＝20，a3＝S3－S2＝100，由a＝a1a3得100(5＋k)＝202，解得k＝－1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．利用等比数列前n项和公式解题的基本思路是什么？
[提示]　在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
2．如何利用错位相减法求数列的前n项和？
[提示]　错位相减法是一种重要的数列求和方法，等比数列前n项和公式的推导用的就是错位相减法．当一个数列由等差数列与等比数列对应项的乘积构成时，可使用此法求数列的前n项和．
设数列{an}为等差数列，公差为d；数列{bn}为等比数列，公比为q(q≠1)；数列{anbn}的前n项和为Tn．则Tn的求解步骤如下．
(1)列出和式Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋anbn．
(2)两边同乘以公比q：qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋anbnq＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋anbn＋1．
(3)两式相减(错位相减)并求和：
(1－q)Tn＝a1b1＋(a2b2－a1b2)＋(a3b3－a2b3)＋…＋(anbn－an－1bn)－anbn＋1＝a1b1＋(a2－a1)b2＋(a3－a2)b3＋…＋(an－an－1)bn－anbn＋1＝a1b1＋d(b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1＝a1b1＋d×－anbn＋1．
(4)两边同除以(1－q)即得数列{anbn}的前n项和Tn．


根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说，有位宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围，百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，高兴之余，他便问那位宰相，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1料麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数， 直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．“好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宰相的这个谦卑的请求．
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢？稍微算一个就可以得出：1＋2＋22＋23＋24＋……＋263＝264－1，直接写出数字来就是18，446，744，073，709，551，615粒，这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！
如果造一个宽四米，高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米，可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回．
国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言，成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债．
正当国王一筹莫展之际，王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下，这个问题很简单啊，就像1＋1＝2一样容易，您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他？”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下．其实，您只要让宰相大人到粮仓去，自己数出那些麦子就可以了．假如宰相大人一秒钟数一粒，数完18，446，744，073，709，551，615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下！)．就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐，也只是数出了那些麦粒中极小的一部分．这样的话，就不是陛下无法支付赏赐，而是宰相大人自己没有能力取走赏赐．”国王恍然大悟，当下就召来宰相，将教师的方法告诉了他．
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)．