高中第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和教学设计

这是一份高中第五章 数列5.3 等比数列5.3.2 等比数列的前 n项和教学设计，共9页。教案主要包含了典例解析，达标检测，小结，课时练等内容，欢迎下载使用。


本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修三》第五章《数列》，本节课主要学习
等比数列的前n项和
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。
学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。
重点： 等比数列的前n项的运用
难点：等比数列的前n项和公式的推导
多媒体
由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。
课程目标
学科素养
A. 理解等比数列的前n项和公式的推导过程.
B.掌握等比数列的前n项和公式及性质,并能用它解决有关等比数列问题.
C.熟练掌握等比数列的五个量a1,q,n,an,Sn的关系,并能进行相关的运算.
1.数学抽象：等比数列的前n项和公式
2.逻辑推理：等比数列的前n项和公式的推导
3.数学运算：等比数列的前n项和公式的运用
4.数学建模：等比数列的前n项和公式

教学过程
教学设计意图
核心素养目标
情景导学
.问题1. 信息技术高度发展的今天，人们可以借助手机、计算机等快速的传递有关信息.在这样的背景下，要求每一个人都要“不造谣，不信谣，不传谣” ，否则要依法承担有关法律责任，你知道这其中的缘由吗？
如图所示，如果一个人得到某个信息之后，就将这个信息传递给3个不同的好友，（称为第1轮传播），每个好友收到信息后又都传给了3个不同的好友（称为第2轮传播）……依次下去，假设传的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人就构成了一个等比数列，
1，3，9，27，81, …
如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么知晓这个信息的人数共有多少？

为了解决情境中的问题，我们需要计算出等比数列的前20项的和，
即要算出
S20=1+3+32+33+…+319 ①
的值.
探究1. 你能想办法算出①式的值吗？你能得出一般等比数列前n项和的公式吗？
当在①式两边同时乘以3时，可得
S20=3+32+33+34+…+320 ②
① -②可得，-2S20=1-320因此
S20=320-12 ≈1.7×109
也就是说经过20轮传播之后，知晓这个信息的人约为17亿，比我国的总人口还多！
一般地，设等比数列an，公比为q,前n项和为Sn，则
Sn=a1+a2+…+an-1+an, ③
=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
当q=1时,由③可以看出Sn=na1.
当q≠1时有，由③两边同时乘以 q可得
qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn ④
③-④可得(1-q)Sn=a1-a1qn
此时有Sn=a1(1-qn)1-q
综上可得等比数列前一项和的公式为
Sn= na1,q=1a1(1-qn)1-q,q≠1
因为an=a1qn-1,所以q≠1时，等比数列前n项和的公式也可以改写为
Sn=a1-anq1-q
二、典例解析
例1.已知等比数列an的公比为12，且a8=1，求这个等差数列前8项的和S8.
解：因为a8=a1q7
所以a1=a8q7=1(12)7=27,
因此S8==a1(1-q8)1-q=27×[1-128]1-12 =28 -1=255.
例2.已知等比数列an中，a3=3，a10=-384，求这个等差数列前10项的和.
解：由已知可得
3=a1q2-384=a1q9
解得 q=-2,a1=34
因此S10==a1(1-q10)1-q=34×27×[1--210]1-(-2) = - 10234.
等比数列前n项和公式的应用策略
在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素,有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题过程中,要注意:①选择适当的公式;②利用等比数列的有关性质;③注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
跟踪训练1. 在等比数列{an}中,公比为q,前n项和为Sn.
(1)a1=8,an=14,Sn=634,求n;
(2)S3=72,S6=632,求an及Sn;
(3)a6-a4=24,a3·a5=64,求S8.
解:(1)显然q≠1,Sn=a1-anq1-q,
即8-14q1-q=634,∴q=12.
又an=a1qn-1,即8×12n-1=14,∴n=6.
(2)由S6≠2S3知q≠1,
由题意,得a1(1-q3)1-q=72,a1(1-q6)1-q=632,①②
②÷①,得1+q3=9,∴q3=8,即q=2.
将q=2代入①,得a1=12,
∴an=a1qn-1=12×2n-1=2n-2,
Sn=a1(1-qn)1-q=2n-1-12.
(3)由题意,得a1q5-a1q3=24,(a1q2)·(a1q4)=64,
化简,得a1q3(q2-1)=24,a1q3=±8,③④
③÷④,得q2-1=±3,负值舍去,
∴q2=4,∴q=2或q=-2.
当q=2时,代入③得a1=1.
∴S8=a1(1-q8)1-q=255.
当q=-2时,代入③得a1=-1.
∴S8=a1(1-q8)1-q=2553.
综上可知S8=255或S8=2553.
例3.已知数列an的前n项和为Sn=3×2n-1,求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列.
解：（1）当n=1时，有a1=S1=5
当n≥2时，有
an=Sn-Sn-1=3×2n-1-[3×2n-1-1]=3×2n-1
因此数列的通项公式为an= 5,n=13×2n-1,n≥2
注意到a2=3×22-1 =6，a3=3×23-1 =12，
因此a3a3=65，a3a3=2，所以可知an不是等比数列.
探究2. （1）等比数列中，Sn与n的关系与以前所学过的什么函数有关？
（2）如果数列{an}的前n项和的公式是
Sn=Aqn+B
其中A,B, q都是常数，且A≠0,q≠0那么{an}一定是等比数列吗？为什么？
（1）当q≠1时，Sn=a11-qn1-q=-a11-qqn+a11-q,
如果记fx=-a11-qqx+a11-q,
则可以看出Sn是关于n的指数型函数.
（2）如果数列{an}的前n项和的公式是Sn= Aqn+B
由（1）知， {an}是等比数列。
例4.求和：9+99+999…+999…99.
分析：数列9,99,999，…不是等比数列，不能直接用公式求和但将它转化为10-1.100-1,1000-1，…就容易解决了.
解：原式=10-1+（102-1） +…+(10n-1)
=10+102+…+10n-n
=1010n-110-n
=10910n-1-n
1.分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.
2.错位相减法适用于求一个等差数列与一个等比数列的积组成的新数列的前n项和.
跟踪训练2.已知数列{an}的通项公式an=2n+n,求该数列的前n项和Sn.
解:Sn=a1+a2+a3+…+an
=(2+1)+(22+2)+(23+3)+…+(2n+n)
=(2+22+23+…+2n)+(1+2+3+…+n)
=2(1-2n)1-2+(1+n)n2
=2n+1-2+(n+1)n2.
例5.某工厂去年1月份的产值为a元，且月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和.
解:设该工厂去年第n个月的产值为bn元，由题意可知 b1= a
且bn+1-bnbn= p,即bn+1bn=1+ p
因此{bn}是以a为首项，1+ p为公比的等比数列，这个数列共有12项，且
bn=a(1+p)n-1
从而这个数列所有项的和为S12=a[1-(1+p)12]1-(1+p)=a[1+p12-1]p
因此可知该工厂去年全年产值的总和为a[1+p12-1]p元.
通过具体问题的思考和分析，提出等比数列的前n项和问题。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
由特殊到一般的思想，分析，求解等比数列的前n项和公式，发展学生数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
通过典型例题，加深学生对等比数列的前n项和公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
通过典型例题，加深学生对等比数列的前n项和公式函数特征的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素
三、达标检测
1. 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=3(a1+a2),则公比q的值为( )
A.2B.3C.5D.2
解析:∵S4=3(a1+a2),∴q≠1.
∴a1(q4-1)q-1=3a1(1+q).
∵a1≠0,∴q2+1=3.
解得q=2.
故选D.
答案:D
2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则a1a2+a2a3+…+anan+1=( )
A.16(1-4-n)B.16(1-2-n) C.323(1-4-n)D.323(1-2-n)
解析:由于a5=a2q3,∴q=12,a1=a2q=4.
又a1a2+a2a3+…+anan+1=a12q+a22q+…+an2q=q(a12+a22+…+an2)=12×16×1-14n1-14=323(1-4-n).故选C.
答案:C
3.记数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-1,则S2 020=( )
A.22 020-1 B.22 021-1 C.2-(12)2 020D.2-(12)2 021
解析:依题意,Sn=2an-1,
当n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1;
当n≥2时,由Sn=2an-1得Sn-1=2an-1-1,
两式相减并化简得an=2an-1.
故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=2n-1.
所以S2 020=1-22 0201-2=22 020-1.
答案:B
4.设等比数列{an}的前n项和记为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5=( )
A.34B.23C.12D.13
解析:∵数列{an}为等比数列,且其前n项和记为Sn,
∴S5,S10-S5,S15-S10成等比数列.
∵S10∶S5=1∶2,即S10=12S5,
∴等比数列S5,S10-S5,S15-S10的公比为S10-S5S5=-12.
∴S15-S10=-12(S10-S5)=14S5.
∴S15=14S5+S10=34S5.
∴S15∶S5=34.故选A.
答案:A
5.数列{(2n-1)·4n-1}的前n项和为 .
解析:设前n项和为Tn,则Tn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)·4n-1,①
4Tn=1×4+3×42+…+(2n-3)·4n-1+(2n-1)·4n.②
①-②,得-3Tn=1+2(41+42+43+…+4n-1)-(2n-1)·4n=-13[(6n-5)×4n+5].
∴Tn=19[(6n-5)×4n+5].
答案:19[(6n-5)×4n+5]
6.已知{an}为等差数列,且a3=-6,a6=0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前n项和公式.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为a3=-6,a6=0,所以a1+2d=-6,a1+5d=0.
解得a1=-10,d=2.
所以an=-10+(n-1)×2=2n-12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.
因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,
所以-8q=-24,q=3.
所以数列{bn}的前n项和公式为Sn=b1(1-qn)1-q=4(1-3n).
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
四、小结
五、课时练
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。