高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质课时训练

课时作业(二十一)　指数函数的图象和性质(一)

1．函数f(x)＝2|x|，则函数f(x)(　　)

A．在R上是减函数

B．在(－∞，0]上是减函数

C．在[0，＋∞)上是减函数

D．在R上是增函数

答案：B　

解析：∵y＝2t在R上单调递增，而t＝|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)＝2|x|在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．故应选B．

2.，，三个数按大小顺序排列是(　　)

A．＜＜

B．＜＜

C．＜＜

D．＜＜

答案：B　

解析：y＝x为减函数，

∵0>－＞－，

∴0<＜－，＝，

＝＜0＝1，

∴＜.

故应选B．

3．已知函数f(x)＝2x，则f(1－x)的图象为图中的(　　)

答案：C　

解析：f(1－x)＝21－x.图象不过原点，排除A，D；y＝21－x为减函数，排除B．故应选C．

4．若函数y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，则有(　　)

A．a>1        

B．a>1，－1<m<0

C．0<a<1，m>0        

D．0<a<1

答案：B　

解析：函数y＝ax－(m＋1)(a>0)的图象过第一、二、三象限，结合指数函数的图象，可以得知a>1,0<m＋1<1，∴－1<m<0.

5．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A．    B．(－∞，0)

C．    D．

答案：B　

解析：由题意，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a＞1，解得a＜0.故选B．

6．函数y＝ax－1＋1(a＞0，且a≠1)中，无论a取什么值恒过一个定点，则这个定点的坐标是________．

答案：(1,2)　

解析：定点与a无关，故令x－1＝0，则x＝1，y＝2.

7．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________.

答案：64　

解析：设指数函数为y＝ax(a＞0，a≠1)，

当x＝2时，y＝4，∴a＝2，∴y＝2x.

∴f(2)·f(4)＝4×16＝64.

8．已知函数f(x)满足：(1)对任意x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)；(2)f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，写出一个同时满足条件(1)(2)的函数的解析式_____________．

答案：f(x)＝2x(答案不唯一)　

解析：单调递增的指数函数同时满足这两个条件．

9．函数f(x)＝(ax＋a－x)(a>0，且a≠1)的图象经过点.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：f(x)在[0，＋∞)上是增函数．

(1)解：∵f(x)的图象过点，

∴(a2＋a－2)＝，

即9a4－82a2＋9＝0，

解得a2＝9，或a2＝.

∵a>0，且a≠1，

∴a＝3，或a＝，

当a＝3时，f(x)＝(3x＋3－x)；

当a＝时，

f(x)＝＝(3x＋3－x)．

∴所求解析式为f(x)＝(3x＋3－x)．

10．函数f(x)＝在区间(－∞，1]上有意义，求a的取值范围．

解：∵1＋2x＋3xa≥0，∴3xa≥－1－2x.

∵x∈(－∞，1]，∴3x>0，

∴a≥－x－x.

∵y＝x与y＝x都是(－∞，1]上的减函数，且x>0，x>0，

∴函数y＝－x与y＝－x都是(－∞，1]上的增函数．

∴函数y＝－x－x是(－∞，1]上的增函数．

∴x∈(－∞，1]时，－x－x≤－1－1＝－1恒成立．

∵a≥－x－x在x∈(－∞，1]上恒成立，

∴a≥－1.

故a的取值范围是[－1，＋∞)．

11．试比较a2x2＋1与ax2＋2(a＞0且a≠1)的大小关系．

解：∵2x2＋1－(x2＋2)＝x2－1，

∴当x＞1，或x＜－1时，2x2＋1＞x2＋2；

当－1＜x＜1时，2x2＋1＜x2＋2；

当x＝±1时，2x2＋1＝x2＋2.

∴当a＞1时，

如果x＞1，或x＜－1，

就有a2x2＋1＞ax2＋2；

如果x＝±1，就有a2x2＋1＝ax2＋2；

如果－1＜x＜1，就有a2x2＋1＜ax2＋2；

当0＜a＜1时，

如果x＞1，或x＜－1，就有a2x2＋1＜ax2＋2；

如果x＝±1，就有a2x2＋1＝ax2＋2；

如果－1＜x＜1，就有a2x2＋1＞ax2＋2.

12．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数x的关系．模拟函数可以选二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)．已知4月该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由．

解：设y1＝f(x)＝px2＋qx＋r(p≠0)，

则

解得p＝－0.05，q＝0.35，r＝0.7.

所以f(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，

f(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3.

再设y2＝g(x)＝a·bx＋c，

则

解得a＝－0.8，b＝0.5，c＝1.4.

所以g(x)＝－0.8×0.5x＋1.4，

g(4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35比f(4)＝1.3更接近1.37，所以它作为模拟函数较好．