人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换精品第1课时习题

简单的三角恒等变换(一)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)

A．b>a>c    B．a>b>c

C．a>c>b    D．c>b>a

2．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为(　　)

A．－    B．    C．    D．

3.的值为(　　)

A．1    B．    C．    D．2

4．已知450°<α<540°，则的值是(　　)

A．－sin     B．cos

C．sin     D．－cos

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos ＝________．

6．已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤π，则

sin ＝________．

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．化简：··.

8．已知2sin ＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝cos 2·cos 2，则f等于(　　)

A．    B．    C．    D．

2．(多选题)若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ的可能取值有(　　)

A．0    B．1    C．    D．－

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．设α为第四象限角，且＝，则cos 2α＝________，tan 2α＝________．

4．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于________．

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．化简：(0<α<π).

6．证明＝tan .

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．设a＝cos 7°＋sin 7°，b＝，c＝，则有(　　)

A．b>a>c    B．a>b>c

C．a>c>b    D．c>b>a

分析选A.a＝sin 37°，b＝tan 38°，c＝sin 36°，

由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，

所以b>a>c.

2．已知cos θ＝－，θ∈(π，2π)，则sin ＋cos 的值为(　　)

A．－    B．    C．    D．

分析选B.因为θ∈(π，2π)，

所以∈，

所以sin ＝＝，

cos ＝－＝－，

所以sin ＋cos ＝.

3.的值为(　　)

A．1    B．    C．    D．2

分析选C.原式＝

＝＝＝.

4．已知450°<α<540°，则的值是(　　)

A．－sin     B．cos

C．sin     D．－cos

分析选A.原式＝

＝＝.

因为450°<α<540°，

所以225°<<270°.

所以原式＝－sin .

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．若θ是第二象限角，且25sin2θ＋sinθ－24＝0，则cos ＝________．

分析由25sin2θ＋sinθ－24＝0，

θ是第二象限角，得sin θ＝或sin θ＝－1(舍去).

故cos θ＝－＝－，

由cos2＝得cos2＝.

又是第一、三象限角，

所以cos＝±.

答案：±

6．已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤π，则

sin ＝________．

分析因为≤θ≤π，

所以sin θ≥0，cos θ≤0，且≤≤.

又sin θ＋cos θ＝，①

所以(sin θ＋cos θ)2＝，

所以2sin θcos θ＝－，

所以(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝，

所以cos θ－sin θ＝－，②

联立①②，

得

所以sin ＝sin ＝＝＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．化简：··.

分析原式＝··＝·＝·＝＝tan .

8．已知2sin ＝sin θ＋cos θ，2sin2β＝sin2θ，求证：sin 2α＋cos 2β＝0.

【证明】因为2sin ＝sin θ＋cos θ，

所以(sin α＋cos α)＝sin θ＋cos θ，

两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ，

所以sin 2θ＝1＋2sin 2α.

又sin 2θ＝2sin2β，

所以sin2θ＝1－cos 2β，

所以1－cos 2β＝1＋2sin 2α，

所以2sin 2α＋cos 2β＝0，

所以sin 2α＋cos 2β＝0.

能力过关

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．已知函数f(x)＝cos 2·cos 2，则f等于(　　)

A．    B．    C．    D．

分析选A.f(x)＝cos 2·cos 2

＝·

＝·＝，

所以f＝＝.

2．(多选题)若cos 2θ＋cos θ＝0，则sin 2θ＋sin θ的可能取值有(　　)

A．0    B．1    C．    D．－

分析选ACD.由cos 2θ＋cos θ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cos θ＝－1或.

当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；

当cos θ＝时，有sin θ＝±.

于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或或－.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．设α为第四象限角，且＝，则cos 2α＝________，tan 2α＝________．

分析＝

＝＝2cos 2α＋1＝，

所以cos 2α＝，

又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，

所以tan 2α＝－.

答案：　－

4．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于________．

分析sin2θ＋cos2θ＝＋＝1，解得m＝0或m＝8.

当m＝0时，sinθ＝－＜0，

因为＜θ＜π，故m＝0舍去；

当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，

故tan ＝＝＝5.

答案：5

三、解答题(每小题10分，共20分)

5．化简：(0<α<π).

分析因为tan ＝，

所以(1＋cos α)tan ＝sin α.

又因为cos ＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，

所以原式＝＝

＝－.

因为0<α<π，所以0<<.

所以sin >0.

所以原式＝－2cos .

6．证明＝tan .

【证明】方法一：从右边入手，切化弦，得

tan ＝

＝

＝，

由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos ＋sin ，得

＝.

方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

＝＝，

由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos ，得

＝＝tan .