第五章 相交线与平行线压轴题考点训练（解析版）-七年级数学下册压轴题攻略（人教版）

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第五章 相交线与平行线压轴题考点训练
1．如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（       ）


A．115° B．110° C．105° D．100°
【答案】C
【详解】解：过作，

，，
，
，
，
，
故选：C．
2．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（　　）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【详解】解：①过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，

∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，

∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．
综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．
3．如图，在中，，，是线段上一个动点，连接，把沿折叠，点落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______．

【答案】67°或118°
【详解】根据题意可分类讨论：①如图，当时，

∵，∴．
∴．
根据折叠可知，∴；
②如图，当时，

∵，∴．∴．
根据折叠可知，
∴．
故答案为：或．
4．如图，已知，，，则________度．

【答案】110
【详解】过E作一条直线

∵，∴，
∵，，∴，
∴
又∵，∴．
故答案为：110．
5．如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝______°．

【答案】57
【详解】解：∵BC平分∠ABD，∴∠HBC=∠DBC=，
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴BC∥DE，∴∠3+∠DBC=180°，
∵∠2＋∠3＝180°，∴∠DBC=∠2，∴CH∥BD，∴∠DBA=∠1=66°，
∴∠DBC=∠2=，∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°．
故答案为：57．
6．如图，在Rt△ABC，∠B＝90°，∠ACB＝50°．将Rt△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′．若AB∥CC′，则旋转角的度数为_____°．

【答案】100
【详解】解：∵，∴
∴
由旋转的性质可得
∴
∴
故答案为：100．
7．如图，直线分别与直线，交于点A，B，，，若直线，保持不动，将直线绕点A逆时针旋转，使得，则旋转的最小角度是______．

【答案】
【详解】解：过点A作，

∵，∴，
∴．
8．如图，在中，，，点D在BC上，将沿直线AD翻折后，点C落在点E处，连结DE，如果，那么______°．

【答案】70
【详解】解：由翻折性质可得≌，∴，，
∵，∴，
∵，，∴，∴，
∴，
∵，∴，
在中，．
故答案为：70．
9．已知：AB∥CD．点E在CD上，点F，H在AB上，点G在AB，CD之间，连接FG，EH，GE，∠GFB=∠CEH．

(1)如图1，求证：GF∥EH；
(2)如图2，若∠GEH=α，FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，试问∠M与α之间有怎样的数量关系（用含α的式子表示∠M）？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】(1)证明见解析过程；(2)∠FME=90°- ，证明见解析过程．
【解析】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠CEH=∠EHB，
∵∠GFB=∠CEH，∴∠GFB=∠EHB，∴GF∥EH；
(2)解：∠FME=90°-，理由如下：
如图2，过点M作MQ∥AB，过点G作GP∥AB，

∵AB∥CD，∴MQ∥CD，∴∠AFM=∠FMQ，∠QME=∠MEC，
∴∠FME=∠FMQ+∠QME=∠AFM+∠MEC，
同理，∠FGE=∠FGP+∠PGE=∠AFG+∠GEC，
∵FM平分∠AFG，EM平分∠GEC，
∴∠AFG=2∠AFM，∠GEC=2∠MEC，∴∠FGE=2∠FME，
由（1）知，GF∥EH，∴∠FGE+∠GEH=180°，
∵∠GEH=α，∴∠FGE=180°-α，∴2∠FME=180°-α，∴∠FME=90°-．
10．已知：如图1，直线AB//CD，分别交，于，两点，，的平分线相交于点．

(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请直接写出的度数．
【答案】(1)90°；(2)∠M1=∠M．证明见解析；(3)（）2021×90°
【解析】(1)解：如图1中，
∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°，∴∠M=180°-90°=90°；
(2)结论：∠M1=∠M．理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．

∵AB∥CD，M1J∥AB，∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°；所以∠EM1F=∠M．
(3)由（2）可知，∠M1=×90°，
同法可知，∠M2=∠M1=∠M，•••，∠Mn=（）n×90°，
当n=2021时，∠M2021=（）2021×90°．
11．平面内有直线AB和直线CD，点E是平面内任意一点，连接AE、CE，∠AEC＝60°．

(1)若直线AB∥CD；
如图1，当点E在两条平行线之间时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 　 　；
如图2，当点E在两条平行线外部时，直接写出∠BAE与∠DCE的数量关系 　 　；
(2)若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图3，当点E在∠AOC内部，且∠AEC＝45°，猜想∠BAE与∠DCE的数量关系，并证明；
(3)我们小学学习过三角形的内角和等于180°，若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝60°，如图4，当点E在∠AOC外部，且∠AEC＝45°，分别作射线AM平分∠BAE、作射线CN平分∠DCE，反向延长AM与CN交于点P，求∠APN的度数？
【答案】(1)①∠BAE+∠DCE＝60°；②∠DCE﹣∠BAE＝60°；(2)∠BAE+∠DCE＝105°，见解析；(3)52.5°
【解析】(1)解：①∠BAE+∠DCE＝60°，理由如下：
如图1，过点E作EF∥AB，

∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，∴∠BAE+∠DCE＝∠AEF+∠CEF＝∠AEC＝60°；
故答案为：∠BAE+∠DCE＝60°．
②∠DCE﹣∠BAE＝60°，理由如下：
如图2，过点E作EF//AB，

∴∠BAE＝∠AEF，
∵AB//CD，∴EF//CD，∴∠DCE＝∠CEF，
∵∠AEC＝60°，∴∠DCE﹣∠BAE＝∠CEF﹣∠AEF＝∠AEC＝60°．
故答案为：∠DCE﹣∠BAE＝60°．
(2)猜想：∠BAE+∠DCE＝105°，理由如下：
如图3，连接OE，

∵∠BAE是△AOE的外角，∠DCE是△COE的外角，∴∠BAE＝∠AOE+∠AEO，∠DCE＝∠COE+∠CEO，
∵∠AOC＝60°，∠AEC＝45°，
∴∠BAE+∠DCE＝∠AOE+∠AEO+∠COE+∠CEO＝∠AOC+∠AEC＝60°+45°＝105°；
(3)如图4，设AO与CE相交于点G，

设∠AGE＝∠CGO＝x°，则∠AGC＝180°﹣x°，
∵∠BAE是△AEG的外角，∠AEC＝45°，∴∠BAE＝∠AEC+∠AGE＝45°+x°，
∵AM平分∠BAE，∴∠BAM＝∠EAM＝∠BAE＝22.5°+x°，∴∠PAG＝∠BAM＝22.5°+x°，
∵∠DCE是△COG的外角，∠AOC＝60°，∴∠DCE＝∠CGO+∠AOC＝x°+60°，
∵CN平分∠DCE，∴∠DCN＝∠ECN＝∠DCE＝x°+30°，
∵∠PAG+∠AGC+∠ECN+∠APC＝360°，
∴∠APC＝360°﹣∠PAG﹣∠AGC﹣∠ECN
＝360°﹣（22.5°+x°）﹣（180°﹣x°）﹣（x°+30°）＝127.5°，
∴∠APN＝180°﹣∠APC＝52.5°．
12．已知，如图1，直线，E为直线上方一点，连接，与交于P点．

(1)若，则_________
(2)如图1所示，作的平分线交于点F，点M为上一点，的平分线交于点H，过点H作交的延长线于点G，，且，求的度数．
(3)如图2，在（2）的条件下，，将绕点F顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，同时绕着点D顺时针旋转，速度为每秒钟，记旋转中的为，当旋转一周时，整个运动停止．设运动时间为t（秒），则当其中一条边与的边DF′互相垂直时，直接写出t的值．
【答案】(1)40；(2)=70°；(3)t的值为10．
【解析】(1)解：∵，，∴∠EPB=∠CDE=70°，
∵∠ABE是△BEP的外角，，∴∠E=∠ABE-∠EPB=110°-70°=40°，
故答案为：40；

(2)解：∵，∴∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD
∵FH平分，∴∠GFH=∠HFP，∴∠GFB=2∠HFB=2∠HFD+2∠DFP
∵DF平分，∴∠FDH=∠FDE=∠PFD，∴∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD
∵∠EBF为△EBP的外角，∴∠EBF=∠E+∠EPB=∠E+2∠PFD，∴2∠HFD+2∠DFP=∠E+2∠PFD，
∴∠E=2∠DFH，
∵，
∴4∠DFH=3∠DFH+20°，∴∠DFH=20°，
∵，∴∠FHG=90°，∴∠G+∠GFH=90°，
∴∠G+∠PFH=∠G+∠HFD+∠PFD=90°，
∴∠G+∠PFD=90°-∠HFD=90°-20°-70°，∴=70°；

(3)当时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，∴∠GFH=∠HFP=45°，∴∠G=45°，
当其中一条边与的边DF′互相垂直，分三种情况，
当G′H′⊥DF′时，FH′交CD与S，FH′∥F′D，∠FSC=∠CDF′，∠CDF′=25°+5t，∠FSC=45°+3°t，
∴25°+5t =45°+3°t，解得t=10,

当GF⊥F′D时，GF交CD于R，交DF′于Q，∠HDF′=25°+5t，∠CRG=∠GFA=3t-90°，
∠QRD+∠QDR=90°即3t-90°+180°-(25+5t)=90°，解得t=-12.5＜0舍去，

当H′F⊥DF′，H′F交CD于U，交DF′于V，∠HDF′=25°+5°t，∠CUF=∠AFH′=3°t-90°-45°，
∵∠VUD+∠UDV=90°，       ∴180°-（25°+5°t）+3°t-90°-45°=90°，解得t=-35＜0舍去，

综合t的值为10．
13．如图①．已知，点为平面内一点，于点，过点作于点，设．

（1）若，求的度数；
（2）如图②，若点、在上，连接、、，使得平分、平分，求的度数；
（3）如图③，在（2）问的条件下，若平分，且，求的度数．
【答案】（1）30°；（2）45°；（3）97.5°
【详解】解：（1）延长，交于点，如图，

，，．．
，．
，．
；
（2）延长，交于点，如图，

，，．．
，．
，．．
平分，．
，．
平分，．
；
（3），．
平分，．
，．
，．

．
由（2）知：．
，．．
．解得：．
．．
14．已知：直线AB、CR被直线UV所截，直线UV交直线AB于点B，交直线CR于点D，∠ABU+∠CDV＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，BE∥DF，∠MEB＝∠ABE+5°，∠FDR＝35°，求∠MEB的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，点N在直线AB上，分别连接EN、ED，MG∥EN，连接ME，∠GME＝∠GEM，∠EBD＝2∠NEG，EB平分∠DEN，MH⊥UV于点H，若∠EDC＝∠CDB，求∠GMH的度数．

【答案】（1）见详解；（2）∠MEB＝40°，（3）∠GMH=80°
【详解】（1）证明：∵∠ABU+∠ABD=180°，∠ABU+∠CDV＝180°．
∴∠ABU=180°-∠ABD，∠CDV＝180°-∠ABU，∴∠ABD=∠CDV，∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD；∴∠ABD=∠RDB，∴∠ABE+∠EBD=∠FDB+∠FDR，
∵BE∥DF，∴∠EBD=∠FDB，∴∠ABE=∠FDR，
∵∠FDR＝35°，∴∠ABE=∠FDR=35°，∴∠MEB＝∠ABE+5°=35°+5°=40°，
（3）解：设ME交AB于S，∵MG∥EN，∴∠NES=∠GMS=∠GES，设∠NES=y°,
∵∠EBD＝2∠NEG∴∠NEG=∠NES+∠GES=2∠NES=2y°，∴∠EBD =4∠NES=4y°,
∵∠EDC＝∠CDB，
设∠EDC=x°，∴∠CDB=7x°，
∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，即∠GBE+∠EBD+∠CDB=180°，∴35+4y+7x=180，
∵∠BDE=∠BDC-∠EDC=7x-x=6x，∴∠BED=180°-∠EBD-∠EDB=180°-4y°-6x°，
∵EB平分∠DEN，∴∠NEB=∠BED，
∵∠NEB=∠NES+∠SEB=y°+40°，∴y°+40°=180°-4y°-6x°，∴，解得，
∴∠EBD=4y°=40°=∠MEB，∴ME∥UV，
∵MH⊥UV，∴MH⊥ME，∴∠SMH=90°，，
∵∠SMG=∠NES=10°，∴∠GMH=90°-∠SMG=90°-10°=80°．

15．已知AMCN，点B为平面内一点，于B．
(1)如图1，直接写出和之间的数量关系．

(2)如图2，过点B作于点D，求证：．

(3)如图3，在（2）问的条件下，点E、F在上，连接、、，平分，平分，若，求的度数．

【答案】(1)；(2)见解析；(3)
【解析】(1)解：如图，

，，
，，；
(2)解：如图，

过点作，，，即，
又，，
，，，，；
(3)解：如图，

过点B作，平分，平分，，，
由（2）可得，，
设，，
则，，，，，
，，，可得
，①
由可得，②
由①②联立方程组，解得，，
．
16．已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数．
（2）在（1）的条件下，分别作和的平分线交于点，求的度数．
（3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知．则判断以下两个结论是否正确，并证明你认为正确的结论．①为定值；②为定值．
【答案】（1）   （2）   （3）②是正确的，证明见解析
【详解】（1）如图所示，过点作，
∵，，∴，
∴，，∴，
∵，∴，∴.

（2）如图所示，过点作，过点作，
∵，∴，
∴，，∴，
∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∵，∴，，
∴.

（3）如图所示，∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∵平分，∴，
设，则，
∴，
∴，，
∴②中的值为定值.
故②是正确的.