人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数教学设计
展开2.2.1对数与对数运算（二）
（一）教学目标
1．知识与技能：理解对数的运算性质．
2．过程与方法：通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3．情感、态态与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
（二）教学重点、难点
1．教学重点：对数运算性质及其推导过程.
2．教学难点： 对数的运算性质发现过程及其证明.
（三）教学方法
针对本节课公式多、思维量大的特点，采取实例归纳，诱思探究，引导发现等方法．
（四）教学过程
教学 环节 | 教学内容 | 师生互动 | 设计意图 | ||||||||||||
复习 引入
| 复习：对数的定义及对数恒等式 （＞0，且≠1，N＞0）， 指数的运算性质.
| 学生口答，教师板书． | 对数的概念和对数恒等式是学习本节课的基础，学习新知前的简单复习，不仅能唤起学生的记忆，而且为学习新课做好了知识上的准备． | ||||||||||||
提出 问题 | 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？ 如： . 于是 由对数的定义得到 即：同底对数相加，底数不变，真数相乘 提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
| 学生探究，教师启发引导．
|
| ||||||||||||
概念 形成 | （让学生探究，讨论） 如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么： （1） （2） （3） 证明： （1）令 则：
又由 即： （3）
即 当=0时，显然成立.
| 让学生多角度思考，探究，教师点拨．
让学生讨论、研究，教师引导． | 让学生明确由“归纳一猜想”得到的结论不一定正确，但是发现数学结论的有效方法，让学生体会“归纳一猜想一证明”是数学中发现结论，证明结论的完整思维方法，让学生体会回到最原始（定义）的地方是解决数学问题的有效策略．通过这一环节的教学，训练学生思维的广阔性、发散性，进一步加深学生对字母的认识和利用，体会从“变”中发现规律．通过本环节的教学，进一步体会上一环节的设计意图． | ||||||||||||
概念 深化 | 合作探究： 1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？
2. 性质能否进行推广？
| （师组织，生交流探讨得出如下结论） 底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
（生交流讨论） 性质（1）可以推广到n个正数的情形，即 loga（M1M2M3…Mn） =logaM1+logaM2 +logaM3+… +logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.
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应用 举例 | 例1 用，，表示下列各式 （1） （2）
例2 求下列各式的值. （1） （2）
例3计算： （1）lg14－2lg+lg7－lg18； （2）； （3）.
课本P79练习第1，2，3.
补充练习：若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式： ①（logax）n=nlogx； ②（logax）n=loga（xn）； ③－logax=loga（）； ④=loga（）； ⑤=logax； ⑥logax=loga； ⑦an=xn； ⑧loga=－loga.其中成立的有________个.
| 学生思考，口答，教师板演、点评． 例1分析：利用对数运算性质直接化简. （1）
（2） = 小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式.
例2解（1） （2）
例3（1）解法一： lg14－2lg+lg7－lg18 =lg（2×7）－2（lg7－lg3）+lg7－lg（32×2） =lg2+lg7－2lg7+2lg3+lg7－2lg3－lg2=0. 解法二：lg14－2lg+lg7－lg18=lg14－lg（）2+lg7－lg18=lg=lg1=0. （2）解： ===. （3）解： = ==. 小结：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.
课本P79练习第1，2，3. 答案：1.（1）lg（xyz）=lgx+lgy+lgz； （2）lg=lg（xy2）－lgz =lgx+lgy2－lgz =lgx+2lgy－lgz； （3）lg =lg（xy3）－lg =lgx+lgy3－lgz =lgx+3lgy－lgz； （4）lg =lg－lg（y2z） =lgx－lgy2－lgz =lgx－2lgy－lgz. 2.（1）7；（2）4；（3）－5；（4）0.56. 3.（1）log26－log23 =log2=log22=1； （2）lg5－lg2=lg； （3）log53+log5 =log53×=log51=0； （4）log35－log315 =log3 =log3=log33－1 =－1.
补充练习答案：4
| 通过例题的解答，巩固所学的对数运算法则，提高运算能力． | ||||||||||||
归纳 总结 | 1.对数的运算性质. 2.对数运算法则的综合运用，应掌握变形技巧： （1）各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系； （2）要避免错用对数运算性质. 3.对数和指数形式比较：
| 学生先自回顾反思，教师点评完善． | 通过师生的合作总结，使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，形成知识体系. | ||||||||||||
课后 作业 | 作业：2.1 第四课时 习案 | 学生独立完成 | 巩固新知 提升能力 |
备选例题
例1 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【解析】（1）方法一：
原式=
=
=
=.
方法二：原式=
=
=.
（2）原式=2lg5 + 2lg2 + lg5 (2lg2 + lg5) + (lg2)2
=2lg10 + (lg5 + lg2)2
= 2 + (lg10)2
= 2 + 1 = 3.
【小结】易犯lg52 = (lg5)2的错误.
这类问题一般有两种处理方法：一种是将式中真数的积、商、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
另一种方法是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. 计算对数的值时常用到lg2 + lg5 = lg10 = 1.
例2：（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；
（2）设logax = m，logay = n，用m、n表示；
（3）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
【分析】由已知式与未知式底数相同，实现由已知到未知，只须将未知的真数用已知的真数的乘、除、幂表示，借助对数运算法则即可解答.
【解析】（1）
0.4771+0.5 – 0.1505
= 0.8266
（2）
（3）由已知得：
，
∴.
【小结】①比较已知和未知式的真数，并将未知式中的真数用已知式的真数的乘、除、乘方表示是解题的关键，并且应注意对数运算法则也是可逆的；②第（3）小题利用下列结论：同底的对数相等，则真数相等. 即logaN = logaMN = M.
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