人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数习题

4.3.2　对数的运算

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.2log510+log50.25=(　　)

A.0 B.1 C.2 D.4

答案C

解析原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)

=log525=2.

2.(2021河南郑州高一期末)已知alog32=1,则2a= (　　)

A. B.1 C.2 D.3

答案D

解析alog32=1=log32a,故2a=3.故选D.

3.(2021吉林公主岭高一期末)log2+lg 25+lg 4++9.80=(　　)

A.1 B.4 C.5 D.7

答案C

解析原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.故选C.

4.(多选题)(2021江苏连云港高一期末)若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(　　)

A.lg x+lg y=lg(x+y)

B.lg=lg x-lg y

C.loym=logxy

D.lg

答案BCD

解析因为x>0,y>0,n≠0,m∈R,则lgx+lgy=lg(xy),故A错误;

lg=lgx-lgy,故B正确;loym=logxy,故C正确;

lg,故D正确.故选BCD.

5.若2lg(x-2y)=lg x+lg y(x>2y>0),则的值为 (　　)

A.4 B.1或 C.1或4 D.

答案D

解析∵2lg(x-2y)=lgx+lgy(x>2y>0),

∴lg(x-2y)2=lgxy,∴(x-2y)2=xy,

∴x2-5xy+4y2=0,∴(x-y)(x-4y)=0,

∴x=y或x=4y.∵x-2y>0,且x>0,y>0,

∴x≠y,∴.

6.计算:2+lg 4+2lg 5-eln 3=　　　　　. 

答案2

解析由题意得2+lg 4+2lg 5-eln 3=(33+(lg 4+lg 25)-eln 3=3+2-3=2.

7.log35log46log57log68log79=　　　　　. 

答案3

解析log35log46log57log68log79==3.

8.计算:

(1);

(2)lg-lg+lg-log92·log43.

解(1)原式==1.

(2)(方法一)原式=lg+lg

=lg=lg1-=-.

(方法二)原式=(lg1-lg2)-(lg5-lg8)+(lg5-lg4)-=-lg2+lg8-lg4-=-(lg2+lg4)+lg8-=-lg(2×4)+lg8-=-.

等级考提升练

9.(2021北京昌平高一期末)已知2x=3,log2=y,则2x+y=(　　)

A.3 B.4 C.8 D.9

答案A

解析由2x=3可知x=log23,且y=log2.

2x+y=2log23+log2=log232×=log28=3.

10.(2021浙江嘉兴高一期末)设lg 3=a,lg 5=b,则log212的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案C

解析根据换底公式和对数运算性质得

log212=.故选C.

11.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么 (　　)

A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac

C. D.

答案AD

解析由题意,设4a=6b=9c=k(k>0),

则a=log4k,b=log6k,c=log9k,

对于选项A,由ab+bc=2ac,可得=2,因为=log69+36=2,故A正确,B错误;

对于选项C,=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,故,故C错误;

对于选项D,=2logk6-logk4=logk9,=logk9,故,故D正确.

12.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　. 

答案4　2

解析∵logab+logba=logab+,

∴logab=2或logab=.

∵a>b>1,∴logab<logaa=1.

∴logab=,∴a=b2.

∵ab=ba,∴(b2)b=,∴b2b=.

∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.

13.解下列对数方程.

(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;(2)logx4+log2x=3.

解(1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,

得

即

解得x=2或x=-9(舍).

(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),

得2logx2+log2x-3=0,

令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;

当t=2时,可得log2x=2,即x=4.

经检验x=2,x=4均符合题意.

故原方程的解为x=2或x=4.

14.(2021湖南长沙高一期末)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.

(1)求常数k的值;

(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)

(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)

解(1)由已知得当t=0时,P=P0;

当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,

解得k=-ln0.9(或k≈0.022).

(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,

有0.3P0=P0,

解得t=≈55.

故污染物减少到30%至少需要55h.

新情境创新练

15.已知2y·logy4-2y-1=0(y>0,y≠1),·log5x=-1(x>0,x≠1),是否存在一个正数P,使得P=?

解存在.由2y·logy4-2y-1=0,得2y=0,∴logy4=,即y=16.

由·log5x=-1,

得=-,

即=-logx5>0.

∴(logx5+1)=(logx5)2,

整理得2(logx5)2-logx5-1=0,

解得logx5=-(logx5=1舍去),∴=25.

从而P==3,

即存在一个正数P=3,使得P=成立.